Sattelfläche

Als Sattelfläche wird in der Geometrie eine Fläche bezeichnet, die in den beiden Hauptrichtungen entgegengesetzt – d. h. antiklastisch – gekrümmt ist. Ihr Krümmungsmaß ist negativ.

Ihr Name kommt vom Pferde-Sattel bzw. dem Sattel im Gelände, der gleichzeitig einen Übergang zwischen zwei Bergen und zwei Tälern darstellt.

Bekannte Sattelflächen

Eine wohlbekannte Sattelfläche ist ein Hyperbolisches Paraboloid. Eine solche Fläche entsteht dadurch, dass man gegenüberliegende Kanten eines räumlichen Vierecks gleichmäßig durch Fäden verbindet. Eine solche Fläche kann also durch Bewegung einer Geraden im Raum erzeugt werden (sie ist eine Regelfläche). Eine andere Erzeugung der hyperbolischen Paraboloids ist als geometrische Ort aller Punkte, die gleichen Abstand von zwei zueinander windschiefen Geraden im Raum haben.

Weitere Spezialfälle sind Minimalflächen, in denen die beiden Hauptkrümmungen entgegengesetzt gleich sind.

Geometrische Eigenschaften

Sphärisches Dreieck (Kugeldreieck)

Sattelfläche und geodätisches Dreieck

Ein Dreieck auf einer Sattelfläche hat - im Gegensatz zu einem sphärischen Dreieck oder allgemein einem Dreieck auf einer positiv gekrümmten Fläche - eine Winkelsumme unter 180° - siehe nebenstehende Skizzen. Die Seiten beider Dreiecke sind dabei geodätische Linien (also kürzeste Verbindungslinien) der jeweiligen Fläche.

Das Krümmungsmaß der Sattelfläche ist negativ, jenes auf Kugel oder Ellipsoid positiv. Deshalb ist die Geometrie auf beiden nicht die euklidische Geometrie. Die Ebene hat Krümmungsmaß Null und trägt euklidische Geometrie.

Siehe auch

Sattelpunkt

Weblinks

• Hyperbolisches Paraboloid mit Geradenscharen und Schnittparabeln