Hyperbolisches Paraboloid

Hyperbolisches Paraboloid

Hyperbolisches Paraboloid

Das hyperbolische Paraboloid (Sattelfläche) ist eine Fläche zweiter Ordnung. Das bedeutet, dass jeder Schnitt mit einer Ebene einen Kegelschnitt ergibt. In diesem Fall sind das:

• bei senkrechten Ebenen: Parabeln
• bei waagrechten oder beliebig geneigten Ebenen: Hyperbeln

Eine solche Fläche bezeichnet man auch als eine antiklastisch (= gegensinnig) gekrümmte Fläche.

Die Gleichung des hyperbolischen Paraboloids lautet in Normalform: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - 2z = 0$,

in einem Sonderfall in anderer Form auch z = xy.

Erzeugen kann man die Fläche, indem man eine hängende (nach unten offene) Parabel entlang einer stehenden Parabel, die nach oben offen ist verschiebt. Interessant ist, dass es jedoch auch durch zwei Scharen von Geraden dargestellt werden kann. Das bedeutet, dass das hyperbolische Paraboloid aus geradlinigen Elementen (Seilen, Stahlträgern) konstruiert werden kann.

Dachkonstruktionen

Eberthalle, Ludwigshafen-Friesenheim

Daher wird es in der modernen Architektur oft als Dachfläche eingesetzt. Zur Konstruktion stelle man sich eine quadratische Grundfläche vor, bei der die jeweils gegenüberliegenden Dachpunkte gleich hoch sind. Wenn man diese Punkte verbindet, hat man schon 4 erzeugende Geraden. Halbiert, bzw. viertelt man diese Geraden und verbindet die gegenüberliegenden Punkte miteinander, entstehen weitere windschiefe Geraden, die das hyperbolische Paraboloid bilden.

Bei dieser Dachform trägt nicht etwa der First und die Gaube wie bei anderen Dächern, sondern die Last wird von der Schale selbst getragen. Das Dach trägt sich selbst. Man spricht von einem Schalentragwerk. Werden die beiden Tiefpunkte noch zusammengespannt (z.B. durch ein Stahlseil), so erhält das Dach noch einmal höhere Festigkeit. Auch das Regenwasser fließt nicht mehr in eine lange Gaube, sondern sammelt sich an den Tiefpunkten des Daches, nur dort muss an einen Abfluss gedacht werden.

Diese Dachform entsteht auch, wenn eine Plane zwischen vier ungleich hohen Punkten aufgespannt wird. Daher gebraucht man sie auch als Zeltdach für Gärten.

Beispiele:

• Biodome (Olympische Radsporthalle in Montréal)
• Stapelchips
• Walter Neuhäusser
• Ulrich Müther

Siehe auch

• elliptisches Paraboloid
• Paraboloid
• Sattelfläche
• Hyperbolische Paraboloidschale

Weblinks

• http://www.hochbau.tuwien.ac.at/uploads/media/HB2_5_Flaechentragwerke2_01.pdf Mathematische Darstellung (PDF-Datei; 2,60 MB)