Satz vom gekämmten Igel

In der Mathematik ist der Satz vom Igel (auch als Satz vom gekämmten Igel bekannt, im Englischen hairy ball theorem) eine Aussage über Vektorfelder auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, die 1912 von Luitzen Egbertus Jan Brouwer bewiesen wurde.

Auf einer Sphäre Sⁿ gibt es genau dann ein tangentiales, stetiges, nirgends verschwindendes Vektorfeld, wenn n ungerade ist.

Insbesondere gibt es ein solches Vektorfeld nicht auf der 2-Sphäre (der Oberfläche der dreidimensionalen Kugel), woraus der folgende Merkspruch folgt:

Jeder stetig gekämmte Igel hat mindestens eine kahle Stelle.

Eine solche kahle Stelle wird auch als „Glatzpunkt“ bezeichnet.

Aus dem gleichen Grund kann prinzipiell nicht überall auf der Erde zugleich Wind wehen – es muss auf der Oberfläche eines dreidimensionalen kugelförmigen Planeten immer windstille Stellen geben. Eine ebene Fläche kann dagegen problemlos stetig ohne kahle Stellen gekämmt werden; ebenso ein Torus.

Der Satz vom Igel ist eine Illustration des Poincaré-Hopf-Theorems.

Literatur

• R. Abraham, Jerrold E. Marsden, & T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications., Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 0-201-10168-8