Satz von Arzelà-Ascoli

Der Satz von Arzelà-Ascoli, benannt nach Cesare Arzelà (1847–1912) in Erweiterung eines Satzes von Giulio Ascoli (1843–1896), ist ein wichtiger Satz in der Funktionalanalysis.

Aussage

Sei X ein kompakter topologischer Raum, Y ein metrischer Vektorraum und $F\subseteq C(X,Y)$ eine Familie (Teilmenge) stetiger Funktionen $f \colon X\to Y$. Dann gilt: Die Funktionenfamilie F ist genau dann relativ kompakt bezüglich der Supremumsnorm in C(X,Y), wenn F gleichgradig stetig ist und für jedes $x\in X$ die Menge $\{f(x):f\in F\}$ der Funktionswerte in x relativ kompakt in Y ist.

Beweisskizze

Der Beweis benutzt das cantorsche Diagonalverfahren, in welchem auf rekursive Art partiell konvergente Teilfolgen konstruiert werden, um dann quer durch alle Teilfolgen eine überall konvergente Teilfolge zu erhalten.

Sei $\{f_n\}_{n\in\N}\subset F$ eine beliebige Funktionenfolge in der Funktionenfamilie F. Zu zeigen ist, dass diese eine in C(X,Y) konvergente Teilfolge enthält.

Dazu wählt man sich eine aufsteigende Folge von endlichen Teilmengen $A_N\subset A_{N+1}\subset X$, welche gegen eine Teilmenge $\textstyle A_\infty:=\bigcup_{N=1}^\infty A_N$ „konvergiert“, welche in der kompakten Punktmenge X dicht ist.

Die Funktionenfolge, eingeschränkt auf eine solche Punktmenge, $\{f_n{}_{|A_k}\}_{n\in\N}$, enthält nach Voraussetzung eine auf A_k konvergente Teilfolge, denn ein endliches kartesisches Produkt relativ kompakter Mengen ist wieder relativ kompakt.

Sei $(f_{0,k}=f_k)_{k\in\N}$ die nullte, triviale Teilfolge. Dann kann rekursiv, beginnend mit $N=1,2,\ldots$, in der Funktionenfolge $\{f_{N-1,k}\}_{k\in\N}$ eine Teilfolge $\{f_{N,k}\}_{k\in\N}$ ausgewählt werden, die auf der vergrößerten Punktmenge A_N konvergiert. Schlussendlich konvergiert nach dem Cantorschen Diagonal„trick“, die Diagonalfolge $\{f_{N,N}\}_{N\in\N}$ auf der dichten Teilmenge $A_\infty\subset X$ gegen eine Funktion $f:A_\infty\to Y$.

Aus der gleichgradigen Stetigkeit folgt, dass die so erhaltene Grenzfunktion auf ganz X stetig fortgesetzt werden kann zu $\bar f:X\to Y$ und es folgt ebenfalls, dass die Diagonalfolge auch in der Supremumsnorm gegen die so konstruierte Funktion konvergiert: $\lim_{N\to\infty} f_{N,N}=\bar f$ in C(X,Y), das heißt

$\lim_{N\to\infty}\left(\sup_{x\in X} \|f_{N,N}(x)-\bar f(x)\|_Y\right)=0$.

Beispiel

Den Satz von Arzelà-Ascoli kann man dazu verwenden, nachzuweisen, dass ein Operator kompakt ist. Sei L²([0,1]) der Raum quadratintegrierbaren Funktionen, dann ist $T \colon L^2([0,1]) \to C([0,1])$ definiert durch

$F (x)(t) := \int_0^1(t^2 + s^2)(x(s))^2 \mathrm{d} s$

ein nichtlinearer kompakter Operator. Für alle $t \in [0,1]$ und alle $x \in L^2([0,1])$ ist F(x)(t) von der Form c₁t² + c₂ und somit stetig. Des Weiteren gilt $|c_1|,|c_2|<\left\|x\right\|_{L^2(0,1)}$. Also gilt für $U \subset L^2([0,1])$ beschränkt: $F(U) \subset C([0,1])$ und F(U) ist beschränkt und gleichgradig stetig. Daher kann man den Satz von Arzelà-Ascoli anwenden und erhält, dass die Menge F(U)) relativ kompakt ist in C([0,1]) bezüglich der sup-Norm. Deshalb bildet also F beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen ab und ist somit ein kompakter Operator.

Literatur

• Cesare Arzelà: Un' osservazione intorno alle serie di funzioni. Rend. dell' Accad. R. delle Sci. dell'Istituto di Bologna, S. 142–159 (1882–1883).
• Cesare Arzelà: Sulle funzioni di linee. Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. Vol. 5 No 5, S. 55–74 (1895).
• Giulio Ascoli: Le curve limiti di una varietà data di curve. Atti della R. Accad. dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat.Vol 18 No 3, S. 521–586 (1883–1884).
• Walter Rudin: Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill 1976, ISBN 978-0-07-054235-8, S. 154ff.
• Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, ISBN 3-411-05121-3.
• Harry Poppe: Compactness in General Function Spaces. Berlin 1974.