Einheitsdistanz-Graph

Der Petersen-Graph ist ein Einheitsdistanz-Graph: er kann so gezeichnet werden, dass jede Kante gleich lang ist.

Ein Einheitsdistanz-Graph ist ein geometrischer Graph, bei dem jede Kante gleich lang ist. Kanten eines Einheitsdistanz-Graphen dürfen sich überschneiden, d.h. der Graph muss nicht immer planar sein. Ein Einheitsdistanz-Graph ohne Überschneidungen wird Streichholzgraph genannt.

Das Problem von Hadwiger und Nelson beschäftigt sich mit der chromatischen Zahl des Graphen. Jeder Einheitsdistanz-Graph kann mit höchstens sieben Farben eingefärbt werden, bekanntlich existieren aber auch einige Graphen, die mindestens vier Farben benötigen. Ein anderes bekanntes offenes Problem befasst sich mit der Frage, wie hoch das Verhältnis von Kanten- zu Knotenanzahl sein kann.

Beispiele

Hyperwürfel-Graph Q₄ als Einheitsdistanz-Graph.

Folgende Graphen sind Einheitsdistanz-Graphen:

• Jeder zyklische Graph
• Jeder Gittergraph
• Jeder Hyperwürfel-Graph
• Der Petersen-Graph
• Der Heawood-Graph
• Das Wagenrad W₇

Strikter Einheitsdistanz-Graph

Einheitsdistanz-Variante des Möbius–Kantor-Graphen, bei dem einige nicht benachbarte Knoten ebenfalls eine Einheitsdistanz haben.

Einige Definitionen in der Literatur lassen die Möglichkeit zu, dass nicht benachbarte Knotenpaare ebenfalls Einheitsdistanz haben dürfen. Zum Beispiel gibt es eine Variante des Möbius–Kantor-Graphen von dieser Art.

Nach dieser abgeschwächten Definition sind alle verallgemeinerten Petersen-Graphen Einheitsdistanz-Graphen.^[1] Um beide Definitionen zu unterscheiden, wird ein Graph, bei dem nur benachbarte Knoten eine Einheitsdistanz haben dürfen, strikter Einheitsdistanz-Graph genannt.^[2]

Entfernt man beim Wagenrad W₇ eine Speiche, erhält man einen nicht-strikten Teilgraphen. Es ist nicht möglich, die Knoten und insbesondere die beiden Endpunkte der fehlenden Speiche so anzuordnen, dass man wieder einen strikten Graphen erhält.^[3]

Zählung von Einheitsdistanzen

Paul Erdős stellte 1946 das Problem, wie man in einer Menge von n Punkten die Anzahl an Punktpaaren mit Einheitsdistanz bestimmt. Graphentheoretisch formuliert: wie dicht kann ein Einheitsdistanz-Graph sein?

Der Hyperwürfel-Graph besitzt für die Anzahl an Einheitsdistanzen eine untere Schranke proportional zu n·log n. Werden die Punkte in einem Quadratgitter mit vorsichtig gewählten Zwischenräumen angeordnet, gibt es nach Erdős eine verbesserte untere Schranke von

n^{1 + c / log log n},

Erdős bot ein Preisgeld von 500 $, falls jemand eine ähnliche Funktion für die obere Schranke findet.^[4] Die beste bekannte obere Schranke^[5] liegt bisher proportional zu

n^{4 / 3};

Diese Grenze kann auch als Zählung der Inzidenzen zwischen Punkten und Einheitskreisen betrachtet werden, und ist nah mit dem Satz von Szemerédi und Trotter für Inzidenzen zwischen Punkten und Geraden verwandt.

Darstellung algebraischer Zahlen und der Satz von Beckman und Quarles

Für jede algebraische Zahl A kann ein Einheitsdistanz-Graph G gefunden werden, bei dem einige Knotenpaare den Abstand A in allen Einheitsdistanz-Darstellungen von G haben.^[6] Damit wird eine endliche Variante des Satzes von Beckman und Quarles impliziert: für je zwei Punkte p und q mit Abstand A existiert ein endlicher starrer Einheitsdistanz-Graph, der p und q beinhaltet und der bei jeder Einheitsdistanz-erhaltenden Transformation der Ebene auch den Abstand zwischen p und q erhält.^[7] Der vollständige Satz von Beckman und Quarles besagt, dass alle Einheitsdistanz-erhaltenden Transformationen der euklidischen Ebene (oder eines höherdimensionalen Raums) kongruent zueinander sein müssen. Für den unendlichen Einheitsdistanz-Graphen, dessen Knoten allesamt Punkte in der Ebene sind, bedeutet dies, dass jeder Graphautomorphismus eine Isometrie sein muss.^[8]

Verallgemeinerung für höhere Dimensionen

Die Definition des Einheitsdistanz-Graphen kann selbstverständlich auch auf höherdimensionale euklidische Räume verallgemeinert werden. Jeder Graph kann als Punktmenge in eine genügend hohe Dimension eingebettet werden. Maehara und Rödl zeigten 1990, dass die notwendige Dimension um einen Graph auf diese Weise einzubetten durch den doppelten Maximalgrad des Graphen beschränkt ist.

Die notwendige Dimension um einen Graphen so einzubetten, dass alle Kanten Einheitsdistanz haben, und die notwendige Dimension um einen Graphen so einzubetten, dass alle Kanten genau den Einheitsdistanz-Paaren entsprechen, können sich stark voneinander unterscheiden: der Johnson-Graph mit 2·n Knoten kann so in die vierte Dimension eingebettet werden, dass all seine Kanten Einheitsdistanz haben, benötigt jedoch n - 2 Dimensionen für eine Einbettung, bei der nur die Kanten Einheitsdistanz-Paare sind.^[9]

Siehe auch

• Einheitsscheiben-Graph, ebener Graph, der immer dann eine Kante enthält, wenn zwei Punkte höchstens mit Abstand 1 voneinander entfernt sind.

Literatur

• F. S. Beckman, D. A. Quarles: On isometries of Euclidean spaces. In: Proceedings of the American Mathematical Society. 4, 1953, S. 810–815 (MR0058193).
• Paul Erdős: On sets of distances of n points. In: American Mathematical Monthly. 53 (5), The American Mathematical Monthly, Vol. 53, No. 5, 1946, S. 248–250, doi:10.2307/2305092 (JSTOR 2305092).
• Paul Erdős, Miklós Simonovits: On the chromatic number of geometric graphs. In: Ars Combinatoria. 9, 1980, S. 229–246.
• Eberhard H.-A. Gerbracht: Eleven unit distance embeddings of the Heawood graph. 2009, arXiv:0912.5395.
• Severino V. Gervacio, Yvette F. Lim, Hiroshi Maehara: Planar unit-distance graphs having planar unit-distance complement. In: Discrete Mathematics. 308 (10), 2008, S. 1973–1984, doi:10.1016/j.disc.2007.04.050.
• Greg Kuperberg: The Erdos kitty: At least $9050 in prizes!. 1992 (Posting in der Usenet-Gruppe rec.puzzles and sci.math).
• Hiroshi Maehara: Distances in a rigid unit-distance graph in the plane. In: Discrete Applied Mathematics. 31 (2), 1991, S. 193–200, doi:10.1016/0166-218X(91)90070-D.
• Hiroshi Maehara: Extending a flexible unit-bar framework to a rigid one. In: Discrete Mathematics. 108 (1-3), 1992, S. 167–174, doi:10.1016/0012-365X(92)90671-2 (MR1189840).
• Hiroshi Maehara, Vojtech Rödl: On the dimension to represent a graph by a unit distance graph. In: Graphs and Combinatorics. 6 (4), 1990, S. 365–367, doi:10.1007/BF01787703.
• Alexander Soifer: The Mathematical Coloring Book. Springer-Verlag, 2008, ISBN 9780387746401.
• Joel Spencer, Endre Szemerédi, William T. Trotter: Unit distances in the Euclidean plane. In: Graph Theory and Combinatorics. Academic Press, 1984, S. 293–308.
• Apoloniusz Tyszka: Discrete versions of the Beckman-Quarles theorem. In: Aequationes Mathematicae. 59 (1-2), 2000, S. 124–133, doi:10.1007/PL00000119 (MR1741475).
• Arjana Žitnik, Boris Horvat, Tomaž Pisanski: All generalized Petersen graphs are unit-distance graphs. 1109, 2010 (IMFM preprints, online).

Weblinks

• Suresh Venkatasubramanian: Problem 39: Distances among Point Sets in R² and R³. In: The Open Problems Project. Abgerufen am 16. Oktober 2011. 
• Eric W. Weisstein: Unit-Distance Graph. In: MathWorld. (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Žitnik, Horvat und Pisanski, 2010.
2. ↑ Gervacio, Lim und Maehara, 2008.
3. ↑ Soifer, 2008, S. 94.
4. ↑ Kuperberg, 1992.
5. ↑ Joel Spencer, Endre Szemerédi und William Trotter, 1984.
6. ↑ Maehara, 1991–1992.
7. ↑ Tyszka, 2000.
8. ↑ Beckman und Quarles, 1953.
9. ↑ Erdős und Simonovits, 1980.