- Satz von Fejer
-
In der Mathematik ist der Satz von Fejér (nach Leopold Fejér) eine der wichtigsten Aussagen über die Konvergenz von Fourierreihen. Der Satz besagt, dass die arithmetischen Mittel der Partialsummen der Fourierreihe einer stetigen, 2π-periodischen Funktion gleichmäßig gegen die Funktion konvergieren.
Mathematische Formulierung
sei der Raum der stetigen 2π-periodischen Funktionen.
Die n-te Partialsumme
der Fourierreihe einer Funktion
ist gegeben durch
, mit den Fourierkoeffizienten
.
Der Satz von Fejér lautet nun formal: Fürgilt:
konvergiert für
gleichmäßig in
gegen f(x).
Der Satz von Fejér kann in dieser Form nicht weiter verschärft werden:
- Leopold Fejér konstruierte 1911 ein Beispiel einer Funktion
, deren Fourierreihe in wenigstens einem Punkt nicht konvergiert.
- Wird die Bedingung der Stetigkeit zu stückweiser Stetigkeit abgeschwächt, konvergieren auch die arithmethischen Mittel der Partialsummen in den Unstetigkeitsstellen nicht mehr gegen den Funktionswert.
Konsequenzen
- Falls eine Fourierreihe einer Funktion aus
in einem Punkt konvergiert, dann konvergiert sie gegen den Funktionswert.
- Die Fourierreihenentwicklung ist eindeutig: Zwei Funktionen aus
haben genau dann die gleiche Fourierreihe, wenn sie als Funktionen übereinstimmen.
- Die Partialsummen einer Funktion
konvergieren in der
-Norm gegen die Funktion, d. h. für
, wobei
- Für
gilt die sogenannte Bessel-Gleichung:
, wobei ck die Fourierkoeffizienten von f sind.
- Durch Polarisieren erhält man aus der Bessel-Gleichung den Satz von Parseval: Seien
mit Fourierkoeffizienten ck bzw. dk. Dann gilt:
, wobei
das Standard-Skalarprodukt ist.
- Leopold Fejér konstruierte 1911 ein Beispiel einer Funktion
Wikimedia Foundation.