Satz von Lindemann-Weierstrass

Der Satz von Lindemann-Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Ergebnis über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz von e und π folgt. Er ist benannt nach den beiden Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstraß. In exakter Form lautet er: Sind α₁,...,α_n paarweise verschiedene algebraische Zahlen und β₁,...,β_n beliebige algebraische Zahlen, wobei nicht alle β_k = 0 sind, dann gilt

$\beta_{1}e^{\alpha_{1}} + \cdots + \beta_{n}e^{\alpha_{n}} \ne 0$.

Diesen sehr allgemeinen Satz bewies von Lindemann, um die deutlich schwächeren Resultate der Transzendenz von e und π zu zeigen.

Folgerungen

Diese Ergebnisse folgen tatsächlich direkt aus dem obigen Theorem:

Wäre e eine algebraische Zahl, so existierten β₀,...,β_n, nicht allesamt null, so dass

$\beta_{n}e^{n} + \cdots + \beta_{1}e^{1} + \beta_{0}e^{0} = 0\; ,$

was ein offensichtlicher Widerspruch zum obigen Ergebnis wäre.

Um die Transzendenz der Kreiszahl π zu zeigen, gehen wir auch hier zunächst davon aus, dass π eine algebraische Zahl sei. Weil die Menge der algebraischen Zahlen einen Körper bilden, müsste auch πi algebraisch sein (für i siehe imaginäre Einheit).

Wenn wir nun β₁ = β₂ = 1 und α₁ = πi, α₂ = 0 wählen, erhalten wir mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß den Widerspruch

$0 \ne e^{\pi i} + e^{0} = -1 + 1 = 0$ (siehe auch: eulersche Identität),

und dies zeigt, dass unsere Annahme falsch war, also dass π transzendent sein muss.

Kurze Zeit nach dem Beweis des Satzes von Lindemann-Weierstraß legte David Hilbert einen deutlich vereinfachten Beweis für die Spezialfälle der Transzendenz der Zahlen e und π vor, aus dem sich wiederum auch der allgemeine Satz folgern lässt. Dieser Beweis findet sich unter den Weblinks.

Literatur

• Ferdinand Lindemann: Über die Zahl π. In: Mathematische Annalen 20 (1882), S. 213 - 225.
• David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π. In: Mathematische Annalen 43 (1893), S. 216 - 219.