Vermutung von Schanuel

Die Vermutung von Schanuel ist eine bis heute unbewiesene mathematische Aussage über die Transzendenzgrade von bestimmten Körpererweiterungen des Körpers $\Q$ der rationalen Zahlen. Diese Vermutung gehört also in den Bereich der Transzendenzuntersuchungen der Algebra und der algebraischen Zahlentheorie. Sie wurde in den 1960er Jahren von Stephen Schanuel formuliert, nach dem sie auch benannt ist.

Die Vermutung

Sei $\lbrace z_1, z_2, \ldots z_n\rbrace\subset\C$ eine Menge von n verschiedenen komplexen Zahlen, die über $\Q$ linear unabhängig sind.

Dann hat der Erweiterungskörper $T=\Q \left( z_1, z_2, \ldots z_n, e^{z_1},e^{z_2},\ldots e^{z_n}\right)$ über $\Q$ mindestens den Transzendenzgrad n.^[1]

Die Vermutung ist bis heute (November 2010) unbewiesen.

Folgerungen

Die Vermutung von Schanuel umfasst die meisten bekannten und bewiesenen Sätze und einige bekannte Vermutungen über die Transzendenz von Zahlen als Spezialfall.

• Der Satz von Lindemann-Weierstrass entsteht in dem Spezialfall, dass die Menge $\lbrace z_1, z_2, \ldots z_n\rbrace\subset\C$ nur aus algebraischen Zahlen besteht. Dann ist der Transzendenzgrad von T natürlich genau n.
• Wählt man andererseits diese n Zahlen so, dass $\lbrace e^{z_1}, e^{z_2}, \ldots e^{z_n}\rbrace\subset\C$ eine Menge von n algebraischen und $\Q$-linear unabhängigen Zahlen ist, dann ergibt sich eine (bisher unbewiesene) Verallgemeinerung eines Satzes von Alan Baker.^[2]

• Aus dieser stärkeren Fassung des Satzes von Baker würde der (in den 1930er Jahren bewiesene) Satz von Gelfond-Schneider folgen.

• Die Vermutung von Schanuel würde auch zeigen, dass Kombinationen wie e + π,e^e,π^π transzendent sind und dass {e,π} algebraisch unabhängig ist.
• Aus der eulerschen Formel folgt, dass e^iπ + 1 = 0 gilt. Sollte die Vermutung von Schanuel zutreffen, dann wäre dies in einem präzisierbaren Sinn im Wesentlichen die einzige Relation dieser Art zwischen den Zahlen e,π,i über den ganzen Zahlen.^[3]

• Angus Macintyre zeigte bereits 1991, dass aus der Vermutung von Schanuel folgt, dass es keine solchen „unerwarteten“ exponentiell-algebraischen Relationen über den ganzen Zahlen gibt.^[4]

Umkehrung der Vermutung

Als Umkehrung der Vermutung von Schanuel wird die folgende Aussage bezeichnet:^[5]

Sei L ein abzählbarer Körper mit der Charakteristik 0, $\epsilon:(L,+)\rightarrow (L^*,\cdot)$ ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern eine zyklische Gruppe ist. Es gelte außerdem, dass für n über $\Q$ linear unabhängige Elemente $z_1, z_2, \ldots z_n\in L$ der Erweiterungskörper $T=\Q \left( z_1, z_2, \ldots z_n, \epsilon(z_1),\epsilon(z_2),\ldots \epsilon(z_n)\right)$ stets höchstens den Transzendenzgrad n über $\Q$ hat. Dann gibt es einen Körperautomorphismus $h:L\rightarrow \C$ so dass $h(\epsilon(z))=e^{h(z)}$ für alle $z\in L$ gilt.

Siehe auch

• Beweis der Transzendenz von e und π im Beweisarchiv.
• Hilberts siebtes Problem in Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen.

Literatur

• Alan Baker: The theory of linear forms in logarithms. Transcendence theory: advances and applications, Proceedings of a Conference, held at the University of Cambridge. In: Mathematical Reviews. American Mathematical Society, 1977, ISBN 978-0-12-074350-6.
• Alan Baker: Transcendental number theory. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1990, ISBN 0-521-39791-X.
• Gregory Chudnovsky: On the Way to Schanuel's Conjecture. In: Contributions to the Theory of Transcendental Numbers. American Mathematical Society, Providence (RI) 1984, Kapitel 3, S. 145-176.
• Serge Lang: Introduction to Transcendental Numbers. Addison-Wesley, Reading (Mass.)/London 1966, ISBN 978-0201041767.
• Angus Macintyre: Schanuel's Conjecture and Free Exponential Rings. In: Ann. Pure Appl. Logic. Nr. 51, American Mathematical Society, 1991.
• D. Marker: Model Theory and Exponentiation. In: Notices of the American Mathematical Society. Nr. 43, American Mathematical Society, Providence (RI) 1996, S. 753-759.
• Giuseppina Terzo: Some consequences of Schanuel's conjecture in exponential rings. In: Communications in Algebra. volume 36, Nr. 3, 2008, S. 1171–1189.

Einzelnachweise

1. ↑ Lang (1966), S. 30f
2. ↑ Baker (1977)
3. ↑ Terzo (2008)
4. ↑ Mcintyre (1991)
5. ↑ Scott W. Williams, Million Bucks Problems

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Schanuel's Conjecture. In: MathWorld. (englisch)