Satz von Menelaos

Der Satz von Menelaos, benannt nach dem griechischen Mathematiker Menelaos (Alexandria, etwa 100 n. Chr.), macht eine Aussage über Geraden, die Dreiecke schneiden.

Gegeben seien ein Dreieck ABC und eine Gerade, welche die Dreiecksseiten [BC], [CA] und [AB] beziehungsweise ihre Verlängerungen in den Punkten X, Y und Z schneidet. Dann gilt:

$TV(B,C,X) \cdot TV(C,A,Y) \cdot TV(A,B,Z) = -1$

Umgekehrt kann man aus der Richtigkeit dieser Beziehung folgern, dass die Punkte X, Y und Z auf einer Geraden liegen.

Hierbei ist TV(U,V,W) das Teilverhältnis von U,V,W, das für drei auf einer Geraden liegende Punkte U,V,W mit $U \neq V$ definiert wird durch $W = U + TV(U,V,W) \cdot (V-U)$. Wenn W zwischen U und V liegt, ist dieses Teilverhältnis gleich $\overline{UW}/\overline{WV}$, andernfalls gleich $-\overline{UW}/\overline{WV}$.

Betrachtet man nur die Streckenlängen, so kann man die obige Gleichung auch in folgender Form schreiben:

$\overline{AZ} \cdot \overline{BX} \cdot \overline{CY} = \overline{AY} \cdot \overline{BZ} \cdot \overline{CX}$

Da die Orientierung hierbei verloren geht, ist diese Gleichung nicht ausreichend für eine Umkehrung des Satzes, vgl. Satz von Ceva.

Beweis

Der Satz von Menelaos lässt sich mit Hilfe des Strahlensatzes beweisen. Man betrachtet drei Lote auf die gegebene Gerade, die von den Ecken A, B und C ausgehen. Die Längen der Lotstrecken seien mit a, b und c bezeichnet.

Aus dem Strahlensatz erhält man folgende Verhältnisgleichungen:

$\overline{AZ} : \overline{BZ} = a : b$

$\overline{BX} : \overline{CX} = b : c$

$\overline{CY} : \overline{AY} = c : a$

Multipliziert man diese drei Gleichungen miteinander, so ergibt sich

$\frac{\overline{AZ} }{\overline{BZ}} \cdot \frac{\overline{BX}}{\overline{CX}} \cdot \frac{\overline{CY}}{\overline{AY}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{a \cdot b \cdot c}{b \cdot c \cdot a} = 1$

und weiter (durch Multiplikation mit dem Nenner)

$\overline{AZ} \cdot \overline{BX} \cdot \overline{CY} = \overline{AY} \cdot \overline{BZ} \cdot \overline{CX}$.

Anwendung

Der Satz von Menelaos liefert zusammen mit seiner Umkehrung ein Kriterium für kollineare Punkte. Eine Folgerung ist der Satz von Ceva.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Menelaus' Theorem. In: MathWorld. (englisch)
• Menelaos' Theorem ein animierter, geometrischer Beweis des Satzes von Menelaos (englisch)