Satz von Schönflies

Der im Jahre 1908 von Arthur Moritz Schönflies bewiesene Satz von Schönflies bildet ein wesentliches Bindeglied zwischen der Topologie und dem kombinatorischen Problem des Kartenfärbens (Vier-Farben-Satz). Anschaulich besagt er: Malt man eine geschlossene Kurve (ohne Überkreuzungen) auf ein Gummituch, dann kann man es so verziehen, dass aus ihr ein Kreis wird.

Satz

Es sei K eine geschlossene Jordankurve und S¹ bezeichne den Einheitskreis. Jeder Homöomorphismus $h: K \to S^1$ lässt sich zu einem Homöomorphismus $H: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ fortsetzen.

Höhere Dimensionen

Die unmittelbare Verallgemeinerung des Satzes von Schönflies auf höhere Dimensionen gilt nicht, da in drei Dimensionen Alexanders Sphäre ein Gegenbeispiel bietet.

Dagegen hat Morton Brown den Satz wie folgt verallgemeinert: Wird eine (n − 1)-dimensionale Sphäre S lokal flach in eine n-dimensionale Sphäre Sⁿ eingebettet, so ist das Paar (Sⁿ,S) homöomorph zu (Sⁿ,S^{n − 1}), wobei S^{n − 1} der Äquator der n-Sphäre ist.

Literatur

• Morton Brown: A proof of the generalized Schoenflies theorem. in: Bull. Amer. Math. Soc., vol. 66 (1960), S. 74-76.

Weblinks

• Schönflies Theorem in Mathworld