- Satz von Schwarz
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Der Satz von Schwarz (nach Hermann Amandus Schwarz; wird auch Satz von Clairaut genannt) ist ein Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er besagt, dass bei mehrfach differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen die Reihenfolge, in der die partiellen Differentiationen (Ableitungen) nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden, nicht entscheidend für das Ergebnis ist.
Tatsächlich leitet er zusätzlich aus der Existenz der beispielsweise partiellen ersten Ableitungen und einer partiellen zweiten Ableitung die Existenz und den Wert einer weiteren partiellen zweiten Ableitung her.
Inhaltsverzeichnis
Aussage
Sei
eine offene Menge sowie
mindestens p-mal differenzierbar und sind alle p-ten Ableitungen in U zumindest noch stetig, so ist die Reihenfolge der Differentiation in allen q-ten partiellen Ableitungen mit
unerheblich. [1]
Für n = 2 gilt also
Der Satz gilt schon unter leicht schwächeren Voraussetzungen: Es genügt, dass die ersten partiellen Ableitungen im betrachteten Punkt total differenzierbar sind. [2]
Andere Schreibweisen
Nachdem die Vertauschbarkeit gegeben ist, kann man die Klammern weglassen:
oder auch
.
Wenn man die partielle Differentiation selbst als Abbildung von
nach
und von
nach
auffasst, kann man noch kürzer schreiben:
oder auch
.
Andere Formulierungen
Der Satz von Schwarz sagt auch aus, dass die Hesse-Matrix symmetrisch ist.
Fasst man
als differenzierbare 0-Form auf und schreibt d für die äußere Ableitung, so hat der Satz von Schwarz die Form d(df) = 0 bzw. auch einfach nur dd = 0.
Für
lässt sich das auch wie folgt formulieren: Die Rotation des Gradientenvektorfelds ist gleich null:
, oder mit Nabla-Symbol geschrieben:
. Das Gradientenvektorfeld ist also wirbelfrei.
Beispiel
Gegeben sei die Funktion
durch
Es ergibt sich für die ersten partiellen Ableitungen
und für die beiden zweiten partiellen Ableitungen fxy und fyx
Es ist zu erkennen, dass gilt fxy = fyx.
Weblinks
Einzelnachweise
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