- Satz von Thabit
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Unter der Teilersumme σ einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.
Beispiel:
- Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme für 6 lautet also 1+2+3+6 = 12.
Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.
Inhaltsverzeichnis
Definitionen
Definition 1: Summe aller Teiler
Seien t1,t2,...,tk alle Teiler der natürlichen Zahl n, dann nennt man σ(n) = t1 + t2 + ... + tk die Teilersumme von n. Dabei sind 1 und n selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion σ heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.
Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:
- σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12
Definition 2: Summe der echten Teiler
Die Summe der echten Teiler der natürlichen Zahl n ist die Summe der Teiler von n ohne die Zahl n selbst und wir bezeichnen diese Summe mit σ * (n).
Beispiel:
- σ * (6) = 1 + 2 + 3 = 6
Offensichtlich gilt die Beziehung:
- σ(n) − n = σ * (n)
Definition 3: defizient, abundant, vollkommen
Eine natürliche Zahl n > 1 heißt
- defizient oder teilerarm, wenn σ * (n) < n,
- abundant oder teilerreich, wenn σ * (n) > n,
- vollkommen, wenn σ * (n) = n.
Beispiele:
- σ * (6) = 1 + 2 + 3 = 6, d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
- σ * (12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12, d. h. 12 ist abundant.
- σ * (10) = 1 + 2 + 5 = 8 < 10, d. h. 10 ist defizient.
Eigenschaften der Teilersumme
Satz 1: Teilersumme einer Primzahl
Sei n eine Primzahl. Dann gilt:
- σ(n) = n + 1
Beweis: Da n eine Primzahl ist, sind 1 und n die einzigen Teiler. Daraus folgt die Behauptung.
Satz 2: Teilersumme der Potenz einer Primzahl
Sei n eine Primzahl. Dann gilt:
Beweis: Da n eine Primzahl ist, lauten die Teiler von nk: n0, n1, …, nk. Die Summe ist eine geometrische Reihe. Aus der Summenformel für eine geometrische Reihe folgt sofort die Behauptung.
Beispiel:
Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei Primzahlen
Seien a und b verschiedene Primzahlen. Dann gilt:
Beweis: Die Zahl ab besitzt die vier verschiedenen Teiler 1, a, b und ab. Daraus folgt:
Beispiel:
Satz 4: Verallgemeinerung von Satz 3
Seien p1,p2,...,pr Primzahlen und k1,k2,...,kr natürliche Zahlen. Ferner sei . Dann gilt:
Satz von Thabit
Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:
Für eine feste natürliche Zahl n seien x = 3·2n-1, y = 3·2n-1-1 und z = 9·22n-1-1.
Wenn x, y und z Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen a = 2n·x·y und b = 2n·z befreundet, d. h. σ * (a) = b und σ * (b) = a.
Beweis:
- σ*(a) = σ(a) - a
- = σ(2n·x·y) - a
- = (2n+1-1)(x+1)(y+1) - a (Satz 4)
- = (2n+1-1)(3·2n)(3·2n-1) - 2n(3·2n-1)(3·2n-1-1)
- = (2n+1-1)·9·22n-1 - 2n(9·22n-1-6·2n-1-3·2n-1+1)
- = 2·2n·9·22n-1-9·2n·2n-1-2n(9·22n-1-9·2n-1+1)
- = 2n(18·22n-1-9·2n-1-9·22n-1+9·2n-1-1)
- = 2n(9·22n-1-1)
- = 2n·z
- = b
Analog zeigt man σ * (b) = a.
Teilersumme als endliche Reihe
Für jede natürliche Zahl n kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von n explizit Bezug genommen wird:
Beweis: Die Funktion
wird 1, wenn μ ein Teiler von n ist, ansonsten bleibt sie Null. Zunächst gilt
Der Zähler im letzten Ausdruck wird stets Null, wenn geht. Der Nenner kann nur dann Null werden, wenn μ ein Teiler von n ist. Dann ist aber
Nur in diesem Fall wird T(n,μ) = 1, wie oben behauptet.
Multipliziert man jetzt T(n,μ) mit μk und summiert das Produkt über alle Werte μ = 1 bis μ = n, so entsteht nur dann ein Beitrag μk zur Summe, wenn μ ein Teiler von n ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Divisorfunktion
deren Spezialfall k = 1 die einfache Teilersumme σ(n) ist.
Siehe auch
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