Teilermenge

Teilermenge

Die Teilermenge ist in der Mathematik die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl. Sie besteht also aus allen natürlichen Zahlen, durch die man die Ausgangszahl ohne Rest teilen kann.

Also: \mathbf T_{a} = \{d \in \mathbb{N} |\ d|a \} für ein a \in \mathbb{N}

Die Teilermenge von 12 beispielsweise besteht aus allen natürlichen Zahlen, durch die man die 12 ohne Rest teilen kann, also

  • 1 und 12 (denn 12:1=12)
  • 2 und 6 (denn 12:2=6)
  • 3 und 4 (denn 12:3=4)

und damit aus den folgenden Elementen:

\mathbf T_{12} = \{1,2,3,4,6,12\}

Der Übersicht halber ist eine Teilermenge geordnet notiert. Der kleinste in der Teilermenge vorkommende Teiler multipliziert mit dem größten dort vorkommenden Teiler ergibt dasselbe Produkt wie der zweitkleinste mit dem zweitgrößte Teiler, der drittkleinste mit dem drittgrößten, etc. Diese Teiler, deren Produkt die Zahl ergibt, deren Teilermenge man vorliegen hat, nennt man komplementäre Teiler.

Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung lassen sich alle Teiler der Teilermenge schnell bestimmen, allerdings kennt man keine schnellen Verfahren zur Bestimmung der Primfaktorzerlegung.

Mächtigkeit

Die Anzahl Teiler einer natürlichen Zahl entspricht der Mächtigkeit der Teilermenge. Diese lässt sich mit der Teileranzahlfunktion berechnen.

Natürliche Zahlen, deren Teilermenge aus genau zwei Elementen besteht, nennt man Primzahlen. Wenn p eine Primzahl ist, so gilt:

\mathbf T_{p} = \{1,p\},\quad 1\neq p

Siehe auch

Weblinks


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