Vollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl) genannt, wenn sie genauso groß ist wie die Summe ihrer positiven echten Teiler (d. h. aller Teiler außer sich selbst).

Ist diese Summe der Teiler kleiner als die Zahl selbst, heißt die Zahl defizient. Ist die Teilersumme dagegen größer, so spricht man von einer abundanten Zahl.

Beispiele

Im Unterschied zu defizienten und zu abundanten Zahlen sind vollkommene Zahlen sehr selten. Die kleinsten, seit der Antike bekannten Beispiele für vollkommene Zahlen sind 6, 28, 496 und 8128 (Folge A000396 in OEIS):

• Die echten Teiler von 6 sind 1, 2 und 3. Ihre Summe ist 1 + 2 + 3 = 6. Für das Produkt der Teiler gilt sogar $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
• Für 28 sind die echten Teiler 1, 2, 4, 7 und 14, so dass 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 ist.

Berechnung von vollkommenen Zahlen

Bereits Euklid stellte fest, dass sich die ersten vier vollkommenen Zahlen aus der Formel

2^{n - 1}(2ⁿ - 1)

berechnen lassen:

• Für n = 2: 2¹(2² - 1) = 6 = 1 + 2 + 3
• Für n = 3: 2²(2³ - 1) = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
• Für n = 5: 2⁴(2⁵ - 1) = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
• Für n = 7: 2⁶(2⁷ - 1) = 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Die ersten 10 vollkommenen Zahlen sind:

1. 6
2. 28
3. 496
4. 8.128
5. 33.550.336
6. 8.589.869.056
7. 137.438.691.328
8. 2.305.843.008.139.952.128
9. 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176
10. 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216

Euklid bewies, dass 2^{n - 1}(2ⁿ - 1) immer dann eine vollkommene Zahl ist, wenn 2ⁿ − 1 eine Primzahl ist, dies sind die so genannten Mersenne-Primzahlen. Fast 2000 Jahre später konnte Leonhard Euler beweisen, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt werden können; von ihnen sind bislang 46 bekannt, und zwar für folgende n: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1.279, 2.203, 2.281, 3.217, 4.253, 4.423, 9.689, 9.941, 11.213, 19.937, 21.701, 23.209, 44.497, 86.243, 110.503, 132.049, 216.091, 756.839, 859.433, 1.257.787, 1.398.269, 2.976.221, 3.021.377, 6.972.593, 13.466.917, 20.996.011, 24.036.583, 25.964.951, 30.402.457, 32.582.657, 37.156.667, 43.112.609.

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt. Zudem ist es unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt. Man weiß jedoch, dass eine solche Zahl, wenn sie existiert, größer als 10⁵⁰⁰ ist und mindestens 8 (bzw. 11, wenn die Zahl nicht durch 3 teilbar ist) verschiedene Primteiler hat.

Weitere Eigenschaften der vollkommenen Zahlen

Summe der reziproken Teiler

Die Summe der Kehrwerte aller Teiler einer vollkommenen Zahl n (einschließlich der Zahl selbst) ergibt 2.

$\sum_{k\mid n} \frac{1}{k} = 2$

Beispiel:

Für n = 6 gilt: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 12/6 = 2

Darstellung von Eaton (1995, 1996)

Jede gerade vollkommene Zahl n > 6 hat die Darstellung

$n = 1 + \frac{9}{2}k(k+1)$

mit k = 8j + 2 und einer nicht-negativen ganzen Zahl j.

Umgekehrt erhält man nicht zu jeder natürlichen Zahl j eine vollkommene Zahl.

Beispiele:

j = 0 ergibt k = 2 und n = 28 (vollkommen).

j = 1 ergibt k = 10 und n = 496 (vollkommen).

j = 2 ergibt k = 18 und n = 1540 (nicht vollkommen).

Ungerade vollkommene Zahlen

Es wird vermutet, dass es keine ungeraden vollkommenen Zahlen gibt. Sollte eine solche Zahl dennoch existieren, hat sie folgende Eigenschaften:

• sie hat die Form 12k + 1 oder 36k + 9 für eine natürliche Zahl k (ergibt also einen Rest von 1 bei ganzzahliger Teilung durch 12 oder einen Rest von 9 bei ganzzahliger Teilung durch 36).^[1]
• sie besitzt mindestens 6 Primzahlfaktoren
• sie besitzt mindestens 9 Primzahlfaktoren, wenn sie nicht durch 3 teilbar ist
• ist sie kleiner als 10⁹¹¹⁸, dann ist sie ganzzahlig durch p⁶ ohne Rest teilbar, wobei p eine Primzahl größer als 10⁵⁰⁰ ist, und hat mindestens 8 (bzw. 11, wenn die Zahl nicht durch 3 teilbar ist) verschiedene Primteiler.

Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen zur dritten Potenz

Mit Ausnahme von 6 lässt sich jede gerade vollkommene Zahl n mit einer geeigneten natürlichen Zahl k darstellen als

$n = \sum_{i=1}^k (2i-1)^3$

Beispiele:

28 = 1³ + 3³

496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³

Summe der ersten natürlichen Zahlen

Jede gerade vollkommene Zahl n lässt sich mit einer geeigneten natürlichen Zahl k darstellen als

$n = \sum_{i=1}^ki = \frac{k(k+1)}{2}$

oder anders ausgedrückt: Jede gerade vollkommene Zahl ist auch eine Dreieckszahl.

Beispiele:

$6 = 1 + 2 + 3 = \frac{3\cdot 4}{2}$

$28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = \frac{7\cdot 8}{2}$

$496 = 1 + 2 + 3 + ... + 31 = \frac{31\cdot 32}{2}$

Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen

Eine k-vollkommene Zahl ist eine Zahl, deren Summe ihrer echten Teiler das k-fache der Zahl selbst ergibt. Die vollkommenen Zahlen sind dann genau die 1-vollkommenen Zahlen. Alle k-vollkommenen Zahlen mit $k\geq 2$ sind insbesondere abundante Zahlen.

Beispiel:

120 besitzt als echte Teiler die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 und 60. Die Summe dieser Zahlen ergibt 240 = 2*120, womit 120 eine 2-vollkommene Zahl ist.

Verwandtschaft mit anderen Zahlenklassen

Abundante und defiziente Zahlen

Abundante Zahlen sind solche natürliche Zahlen, bei denen die Summe der echten Teiler σ^* größer als die Zahl selber ist. Defiziente Zahlen sind solche natürliche Zahlen, bei denen sie kleiner als die Zahl selber ist.

Die kleinste abundante Zahl ist die 12. Die Teilersumme ergibt sich als 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.

Befreundete und gesellige Zahlen

Zwei verschiedene natürliche Zahlen, bei denen die Summe der echten Teiler σ^* der ersten Zahl die zweite und die der zweiten Zahl die erste ist, nennt man ein befreundetes Zahlenpaar. Die kleinere von ihnen ist abundant und die größere ist defizient.

Beispiel:

220 = σ^*(284) und 284 = σ^*(220) bilden das kleinste Paar befreundeter Zahlen.

Werden mehr als zwei natürliche Zahlen benötigt, um auf diese Weise wieder zur Ausgangszahl zurückzukommen, spricht man von geselligen Zahlen (engl. sociable numbers).

Beispiel für 5 gesellige Zahlen:

12.496, 14.288, 15.472, 14.536, 14.264

Pseudovollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl n heißt pseudovollkommen, wenn sie sich als Summe einiger verschiedener echter Teiler darstellen lässt.

Beispiel:

20 = 1 + 4 + 5 + 10 ist pseudovollkommen, aber nicht vollkommen, weil der Teiler 2 in der Summendarstellung fehlt.

Alle pseudovollkommenen Zahlen sind entweder vollkommen oder abundant.

Eine echte Teilmenge der pseudovollkommenen Zahlen bilden die primär pseudovollkommenen Zahlen: Sei n eine zusammengesetzte Zahl und P die Menge der Primteiler von n. Die Zahl n heißt primär pseudovollkommen, wenn gilt: $n = 1 + \sum_{p \in P} \frac{n}{p}$.

Äquivalent dazu ist die folgende Charakterisierung: Eine zusammengesetzte Zahl n mit der Menge der Primteiler P ist genau dann primär pseudovollkommen, wenn gilt: $\sum_{p\in P}\frac{1}{p} + \prod_{p\in P}\frac{1}{p} = 1$. Daran zeigt sich die enge Beziehung der primär pseudovollkommenen Zahlen zu den Giuga-Zahlen, die durch $\sum_{p\in P}\frac{1}{p} - \prod_{p\in P}\frac{1}{p}\in\mathbb{N}$ charakterisiert sind.

Die kleinsten bekannten primär pseudovollkommenen Zahlen sind:

• 6 = 2 * 3
• 42 = 2 * 3 * 7
• 1806 = 2 * 3 * 7 * 43
• 47.058 = 2 * 3 * 11 * 23 * 31
• 2.214.502.422 = 2 * 3 * 11 * 23 * 31 * 47.059
• 52.495.396.602 = 2 * 3 * 11 * 17 * 101 * 149 * 3109
• 8.490.421.583.559.388.410.706.771.261.086 = 2 * 3 * 11 * 23 * 31 * 47.059 * 2.217.342.227 * 1.729.101.023.519

Eigenschaften der primär pseudovollkommenen Zahlen:

• Alle primär pseudovollkommenen Zahlen sind quadratfrei.
• Die Zahl 6 ist die einzige primär pseudovollkommene Zahl, die zugleich vollkommen ist. Alle weiteren primär pseudovollkommenen Zahlen sind abundant.
• Es existieren nur endlich viele primär pseudovollkommenen Zahlen mit einer vorgegebenen Anzahl von Primfaktoren.
• Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele primär pseudovollkommene Zahlen gibt.

Weirde Zahlen

Eine natürliche Zahl n heißt weird (zu deutsch „merkwürdig“), wenn sie abundant, aber nicht pseudovollkommen ist. Sie lässt sich also nicht als Summe einiger ihrer echten Teiler darstellen, obwohl die Gesamtsumme ihrer echten Teiler die Zahl n übersteigt.

Beispiel: Die Zahl 70 ist die kleinste weirde Zahl. Sie kann nicht als Summe von Zahlen aus der Teilermenge {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35} geschrieben werden. Die nächsten weirden Zahlen sind 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430 ^[2].

Eigenschaften:

• Es existieren unendlich viele weirde Zahlen.
• Alle bekannten weirden Zahlen sind gerade. Es ist unbekannt, ob eine ungerade weirde Zahl existiert.

Erhabene Zahlen

Sind sowohl die Teileranzahl als auch die Summe der Teiler einer natürlichen Zahl n eine vollkommene Zahl, dann bezeichnet man n als erhaben.

Vollkommene Zahlen in Spätantike und Mittelalter

Boëthius

Die arithmetischen Eigenschaften vollkommener Zahlen und zuweilen auch ihre arithmologische Deutung gehören in der Spätantike zum arithmetischen Lehrstoff und werden durch Boëthius in dessen Institutio arithmetica^[3], die ihrerseits weitgehend auf Nikomachos von Gerasa beruht^[4], an das lateinische Mittelalter weitergegeben. Seiner griechischen Vorlage folgend behandelt Boëthius die vollkommenen Zahlen (numeri perfecti secundum partium aggregationem)^[5] als eine Unterart der geraden Zahlen (numeri pares) und erläutert ihr auf Euklid zurückgehendes Berechnungsprinzip in der Weise, dass die Glieder in der Reihe der gerad-geraden Zahlen (numeri pariter pares: 2ⁿ) miteinander zu addieren sind, bis ihre Summe eine Primzahl ergibt: multipliziert man diese Primzahl mit dem zuletzt addierten Reihenglied, so ergibt sich eine vollkommene Zahl. Boëthius führt diese Berechnungsweise in den einzelnen Schritten vor für die ersten drei vollkommenen Zahlen 6, 28 und 496 und erwähnt auch noch die vierte vollkommene Zahl 8128. Auf diesen Befund stützt sich bei Boëthius auch die ergänzende Beobachtung zur Gesetzmäßigkeit der vollkommenen Zahlen, dass sie in jeder Dekade (Zehnerpotenz) genau einmal aufträten und hierbei in den 'Einern' jeweils auf 6 oder 8 endeten. Die Darlegungen von Boëthius bildeten in den folgenden Jahrhunderten die Summe des arithmetischen Wissens über die vollkommenen Zahlen, die in den Traktaten De arithmetica, in Enzyklopädien wie den Etymologiae Isidors^[6] und anderen didaktischen Werken mehr oder minder vollständig, aber ohne wesentliche Ergänzungen weitergereicht wurde, bis mit der Entdeckung der fünften vollkommenen Zahl (33550336) im 15. Jahrhundert erkannt wurde, dass die Annahme über die regelmäßige Verteilung auf die 'Dekaden' unzutreffend ist^[7]

Während Boëthius bei der Behandlung anderer Zahlenarten weitgehend auf den arithmetischen Lehrstoff beschränkt bleibt, bieten ihm die vollkommenen Zahlen Anlass auch für weitergehende, ethische Betrachtungen, bei denen sie den abundanten (plus quam perfecti, auch superflui oder abundantes genannt) und den defizitären Zahlen (inperfecti, auch deminuti oder indigentes genannt) gegenübergestellt werden: während diese beiden letzteren Zahlenarten den menschlichen Lastern gleichen, weil sie genau wie diese sehr verbreitet sind und sich keiner bestimmten Ordnung unterwerfen, verhalten sich die 'vollkommene Zahlen' wie die Tugend, indem sie das rechte Maß, die Mitte zwischen Übermaß und Mangel, bewahren, äußerst selten anzutreffen sind und sich einer festen Ordnung unterwerfen. Boëthius deutet zugleich auch eine ästhetische Bevorzugung der vollkommenen Zahlen an, wenn er die abundanten mit Monstren aus der Mythologie wie dem dreiköpfigen Geryon vergleicht, während er die defizienten mit Missgestalten vergleicht, die, wie die einäugigen Zyklopen, durch ein Zuwenig an natürlichen Körperteilen charakterisiert sind. Bei diesen Vergleichen, die Boethius bereits aus seiner griechischen Vorlage übernimmt, steht im Hintergrund die Vorstellung, dass eine Zahl einen aus Gliedern (partes), zusammengesetzten Körper besitzt, so dass nur bei den vollkommenen Zahlen die Glieder der Zahl in einem ausgewogenen Verhältnis zu ihrem Körper stehen.

Bibelexegese

Ihre eigentliche Bedeutung für die mittelalterliche Tradition entfalteten die vollkommenen Zahlen in der Bibelexegese, wo die Auslegung der sechs Schöpfungstage, an denen Gott die Werke seiner Schöpfung vollendete („consummavit“ in der Vetus Latina, „perfecit“ in der Vulgata des Hieronymus) den Ausgangspunkt bildete, um zwischen der arithmetischen 'Vollkommenheit' der Sechszahl und der Vollkommenheit des göttlichen Schöpfungswerkes eine Verbindung herzustellen^[8]. Die Sechszahl wurde in dieser Tradition geradezu ein Paradebeispiel für die Illustrierung der Auffassung, dass die göttliche Schöpfung nach Maß, Zahl und Gewicht geordnet ist. Maßgebend für die lateinische Welt wurde hierbei Augustinus, der seinerseits Ansätze von Vorgängern aus der alexandrinischen Exegese weiterentwickelte. Augustinus hat sich in seinen exegetischen und homiletischen Werken sehr häufig zur 'Vollkommenheit' der Sechszahl geäußert, am ausführlichsten in seinem Kommentar De genesi ad litteram^[9], wo er nicht nur den arithmetischen Sachverhalt erläutert und die theologische Frage erörtert, ob Gott die Sechszahl wegen ihrer Vollkommenheit wählte oder ihr erst durch seine Wahl diese Vollkommenheit verlieh, sondern zusätzlich auch an den Schöpfungswerken demonstriert, dass die Erfüllung der Sechszahl durch ihre 'Teile' (partes) 1, 2 und 3 sich auch an der Beschaffenheit der Schöpfungswerke widerspiegelt und einem latenten 'ordo' der Schöpfung entspricht

• Der erste Schöpfungstag mit der Erschaffung des Lichts, die für Augustinus zugleich die Erschaffung der himmlischen Intelligenzen impliziert, steht als ein Tag für sich allein
• Auf ihn folgen die zwei Tage, an denen das Weltgebäude, die fabrica mundi, geschaffen wurde: und zwar am zweiten Schöpfungstag zunächst deren 'oberer Bereich', das Firmament des Himmels, und am dritten Schöpfungstag der 'untere Bereich', das trockene Land und das Meer.
• Die letzten drei Tage bilden erneut eine Gruppe für sich, da an ihnen diejenigen Geschöpfe geschaffen wurden, die sich in dieser 'fabrica mundi' bewegen und sie bevölkern und zieren sollten: am vierten Tag zunächst wieder im oberen Bereich die Himmelskörper, Sonne, Mond und Sterne, am fünften Tag dann im 'unteren Bereich' die Tiere des Wassers und der Luft, und am sechsten Tag schließlich die Tiere des Landes und als vollkommenstes Werk zuletzt der Mensch.

Die Vollkommenheit der Sechszahl, die Augustinus zugleich auch als Dreieckszahl anspricht, ergibt sich durch diese sachliche Deutung gleich in zweifacher Weise: einerseits in der Aufeinanderfolge der 1 + 2 + 3 Tage, andererseits aber auch dadurch, dass das Werk des ersten Tages keinem besonderen oberen oder unteren Bereich zugeordnet ist (hier symbolisiert durch Buchstabe A), die Werke der folgenden Tage dagegen jeweils entweder dem oberen (B) oder dem unteren (C) Bereich angehören, so dass sich auch insofern wieder eine vollkommene Ordnung von 1, 2 und 3 Tagen mit der Verteilung A + BC + BCC ergibt.

Meist nicht mit dieser detaillierten Deutung des latenten 'ordo', aber zumindest in der allgemeinen Deutung als arithmetischer numerus perfectus wurde dieses Verständnis des Sechstagewerks zum Gemeingut der mittelalterlichen Exegese und zum Ausgangspunkt für die Deutung auch nahezu aller anderen Vorkommensweisen der Sechszahl in der Bibel und Heilsgeschichte. So unter anderem in der Deutung der aus dem Schöpfungstagen abgeleiteten sechs Weltalter (Adam, Noah, Abraham, David, babylonische Gefangenschft, Christus) – die ihrerseits als zwei 'vor dem Gesetz' (ante legem, als drei 'unter dem Gesetz' (sub lege) und als ein Zeitalter der Gnade (sub gratia) gedeutet wurden –, in der Deutung der sechs Lebensalter des Menschen und in der Deutung der Karwoche – in der sich am sechsten Tag ab der sechsten Stunde die Passion Christi erfüllt – und vieler anderer biblischer und außerbiblischer Senare mehr.

Dichtung

Hieran knüpften auch mittelalterliche Dichter zuweilen an, indem sie das arithmetische Verständnis in seiner bibelexegetischen inhaltlichen Prägung für den Aufbau ihrer Werke zugrundelegten^[10]. So hat Alkuin ein metrisches Gedicht in sechs Strophen zu sechs Versen an Gundrada, eine Verwandte Karls des Großen, verfasst und in einer beigefügten Prosaerklärung erläutert, dass er die Sechszahl gewählt habe, um so auch die moralische 'perfectio' der Empfängerin zu befördern^[11]:

Hoc carmen tibi cecini senario numero nobili, qui numerus perfectus est in partibus suis, te optans esse perfectum in sensibus tuis. Cuius numeri rationem, sicut et aliorum, sapientissimus imperator tuae perfacile ostendere potest sagacitati.

Dieses Gedicht habe ich dir in der edlen Sechszahl gesungen, die vollkommen ist in ihren Teilen, weil ich wünsche, dass du vollkommen seiest in deinen Sinnen. Was es mit dieser wie auch mit anderen Zahlen auf sich hat, wird der allerweiseste Kaiser deinem lernbegierigen Verstande mit Leichtigkeit darlegen können. (Übs. P. Klopsch)

Alkuins Schüler Hrabanus Maurus hat nicht nur auf ähnliche Weise in mehreren kürzeren Gedichten solche Beziehungen zur 'perfectio' der Sechszahl hergestellt^[12], sondern auch in seinem poetischen Hauptwerk, dem Liber de laudibus sanctae crucis^[13], den Gesamtaufbau an der 'perfectio' der 28 ausgerichtet. Dieses Werk besteht aus 28 Figurengedichten (carmina figurata), denen jeweils eine Prosaerklärung und im zweiten Buch eine Paraphrase in Prosa beigefügt ist. Die Figurengedichte selber sind in Hexametern von innerhalb des Gedichtes jeweils gleicher Buchstabenzahl verfasst und werden in den Handschriften ohne Wortabstände geschrieben, so dass der metrische Text jeweils als rechteckiger Block erscheint. Innerhalb dieses Blocks sind dann einzelne Buchstaben farblich und durch Umkreisungen hervorgehoben, die sich ihrerseits wieder zu neuen Texten, sogenannten 'versus intexti', zusammensetzen lassen. In der Prosaerklärung zur 28. und letzten dieser Figuren weist Hrabanus dann auch auf die Gründe für seine Wahl der Zahl 28 hin^[14]:

Continet autem totus liber iste viginti octo figuras metricas cum sequente sua prosa (...): qui numerus intra centenarium suis partibus perfectus est, ideo juxta hujus summam opus consummare volui, qui illam formam in eo cantavi quae consummatrix et perfectio rerum est.

Es enthält aber das gesamte Buch 28 metrische Figuren mit ihrer jeweils nachfolgenden Prosa (...): diese Zahl ist im Bereich der Hundert diejenige, die durch ihre Teile erfüllt wird, und darum habe ich in dieser Summe auch dieses Werk vollenden wollen, der ich darin jene Form (d.h. das Kreuz Christi) besungen habe, die die Vollendung und Erfüllung aller Dinge ist.

Wie in moderner Zeit Burkhard Taeger (1972) entdeckt hat^[15], greift das arithmetische Verständnis der Zahl auch noch tiefer in die formale Struktur des Werkes ein. Denn unterteilt man die 28 Figurengedichte nach der Anzahl ihrer Buchstaben pro Vers, so ergibt sich eine Gruppierung von 1, 2, 4, 7 und 14 Gedichten, so dass sich auch in der Binnenstruktur des Werkes die 'vollkommene' Erfüllung der 28 durch ihre partes widerspiegelt.

Belege für poetische Adaptionen des zugrundeliegenden Zahlenverständnisses lassen sich auch im späteren Mittelalter finden^[16], und auch in der bildenden Kunst, wo man in der Regel ohne erklärende Zusätze zum Aufbau der Werke auskommen muss, kann man vermuten, dass etwa die 28 Fresken Giottos über das Leben des Hl. Franziskus in der Oberen Basilika von Assisi durch ihre Zahl die Vollkommenheit des Heiligen und die Christusähnlichkeit seines Lebens besiegeln wollen^[17].

Weblinks

• Timetable of discovery of perfect numbers (englisch)
• Perfect Number -- from MathWorld (englisch)
• Vollkommene Zahlen und Mersenne-Zahlen

Anmerkungen

1. ↑ Holdener, Judy A.: A theorem of Touchard on the form of odd perfect numbers. Am. Math. Mon. 109, No.7, 661–663 (2002).
2. ↑ siehe auch die Folge A006037 in OEIS
3. ↑ Boëthius, De institutione arithmetica libri duo, hrsg. von Gottfried Friedleich (zusammen mit De institutione musica), Leipzig 1867, Nachdr. Minerva GmbH, Frankfurt/Main 1966; zur mittelalterlichen Rezeption siehe Pearl Kibre, The Boethian De Institutione Arithmetica and the Quadrivium in the Thirteenth Century University Milieu at Paris, in: Michael Masi (Hrsg.), Boethius and the Liberal Arts: A Collection of Essays, Verlag Peter Lang, Bern / Frankfurt/Main / Las Vegas, 1981 (= Utah Studies in Literature and Linguistics, 18), S. 67-80; Michael Masi, The Influence of Boethius' De Arithmetica on Late Medieval Mathematics, ebenda S. 81-95
4. ↑ Nikomachos von Gerasa, Arithmetica introductio, hrsg. von Richard Hoche, Teubner Verlag, Leipzig 1866; zur Tradition vollkommener Zahlen in der byzantinischen Arithmetik siehe Nicole Zeegers-Vander Vorst, L'arithmétique d'un Quadrivium anonyme du XIe siècle, in: L'Antiquité classique 32 (1963), S. 129-161, bes. S. 144f.
5. ↑ Boëthius, De institutione arithmetica, lib. I, cap. 19-20, ed. Friedlein 1867, S. 39-45. Als von Boëthius unabhängige Darstellungen in der lateinischen Tradition siehe auch Martianus Capella, De nvptiis Philologiae et Mercvrii, VII, 753, hrsg. von James Willis, Teubner Verlag, Leipzig 1983; Macrobius, Commentarii in Somnium Scipionis, I, vi, 12, hrsg. von Jakob Willis, Teubner Verlag, Leipzig 1963; und Cassiodor, De artibus ac disciplinis liberalium litterarum, VII, PL 70,1206; diese legen das gleiche arithmetische Verständnis dar, führen es aber weniger detailliert aus. Eine abweichende Begründung für die perfectio der Sechszahl bietet Vitruvius, De architectura, III, i, 6 (hrsg. und übs. von Curt Fensterbusch, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Damrstadt 1964), der damit aber keine mittelalterlichen Nachfolger gefunden zu haben scheint.
6. ↑ Isidor von Sevilla, Etymologiae, VII, v, 9-11, hrsg. von Wallace M. Lindsay, Clarendon Press, Leipzig 1911
7. ↑ Stanley J. Bezuszka, Even Perfect Numbers - An Update, in: Mathematics Teacher 74 (1981), S. 460-463, zur Entdeckungsgeschichte weiterer vollkommener Zahlen bis 1997 Stanley J. Bezuszka / Margaret J. Kenney, Even Perfect Numbers: (Update)², in: Mathematics Teacher 90 (1997), S. 628-633
8. ↑ Heinz Meyer, Die Zahlenallegorese im Mittelalter: Methode und Gebrauch, Wilhelm Finck Verlag, München 1975 (= Münstersche Mittelaler-Schriften, 25), S. 30-35; Heinz Meyer / Horst Suntrup (Hrsg.), Lexikon der mittelalterlichen Zahlenbedeutungen, Wilhelm Finck Verlag, München 1987 (= MMS 56), Art. Sechs, Sp. 442-479
9. ↑ Augustinus, De genesi ad litteram, IV, 1-7, CSEL 28.1 (1894), S. 93-103; siehe auch De trinitate, IV, iv-vi, CCSL 50 (1968), S. 169-175
10. ↑ Zu den methodischen Voraussetzungen der Deutung von Zahlen und Zahlenverhältnissen im Aufbau mittelalterlicher Literatur siehe Ernst Hellgardt, Zum Problem symbolbestimmter und formalästhetischer Zahlenkomposition in mittelalterlicher Literatur, C. H. Beck, München 1975 (= Münchener Texte und Untersuchungen, 45); Otfried Lieberknecht, Allegorese und Philologie: Übelegungen zum Problem des mehrfachen Schriftsinns in Dantes Commedia, Franz Steiner Verlag, Stuttgart 1999 (= Text und Kontext, 14), S. 133ff. (Online-Version hier)
11. ↑ Alkuin: Epistola 309 (Ad Gundradam). In: Monumenta Germaniae Historica, Epistolae (in Quart) 4: Epistolae Karolini aevi (II). Herausgegeben von Ernst Dümmler u. a. Berlin 1895, S. 473–478 (Digitalisat). Übersetzung zitiert nach Paul Klopsch (Hrsg.), Lateinische Lyrik des Mittelalters, Reclam Verlag, Stuttgart 1985 (= Reclams Universal-Bibliothek, 8088)
12. ↑ Carmina. In: Monumenta Germaniae Historica, Poetae Latini medii aevi 2: Poetae Latini aevi Carolini (II). Herausgegeben von Ernst Dümmler. Berlin 1884, S. 154–258 (Digitalisat). Z .B. Carm. XVIII, vv.55–60 an Erzbischof Otgar von Mainz, wo die Zahl der 66 Verse mit dem Wunsch begründet wird, dass der Empfänger „vollkommen an Sitten und ein dem vollkommenen Herrn gehörig folgender Diener“ (perfectus moribus atque / Perfectum dominum rite sequens famulus) sein möge.
13. ↑ Hier zitiert nach Mignes Nachdruck der Ausgabe Wimpfelings: Hrabanus Maurus, De laudibus sanctae crucis, PL 107,133-294, vgl. die neue kritische Ausgabe von Michel Perrin, In honorem sanctae crucis, CCCM 100 (1997) und die Faksimileausgabe von Kurt Holter (Hrsg.), Liber de laudibus Sanctae Crucis. Vollständige Faksimile-Ausgabe im Originalformat des Codex Vindobonensis 652 der Österreichischen Nationalbibliothek, Akademische Druck- und Verlagsanstalt, Graz 1973 (= Codices selecti, 33)
14. ↑ Hrabanus Maurus, De laudibus sanctae crucis, lib. I, figura XXVIII, PL 107,264; als Beispiel für eine Anwendung der Sechs als vollkommene Zahl siehe auch figura XXIII und die declaratio figurae, PL 107,239-242
15. ↑ Burkhard Taeger, Zahlensymbolik bei Hraban, bei Hincmar - und im 'Heliand'?, H. C. Beck, München 1972 (= Münchener Texte und Untersuchungen, 30)
16. ↑ Zu Dante Alighieri siehe Otfried Lieberknecht, "Vollkommene Zahlen" in der Arithmetik, geistlichen Exegese und literarischen Zahlenkomposition des Mittelalters (Vortrag, Universität Kaiserslautern, Sonderveranstaltung "Geschichte der Mathematik", 18. Februar 1998); ders., Dante’s Historical Arithmetics: The Numbers Six and Twenty-eight as "numeri perfecti secundum partium aggregationem" in Inferno XXVIII (Vortrag, 32nd International Congress on Medieval Studies, Western Michigan University, Kalamazoo, 1997)
17. ↑ Vgl. auch Fritz Tschirch, Literarische Bauhüttengeheimnisse. Vom symbolbestimmten Umfang mittelalterlicher Dichtungen, in: ders., Spiegelungen. Untersuchungen vom Grenzrain zwischen Germanistik und Theologie, Erich Schmidt Verlag, Berlin 1966, S. 212-225, hier S. 213 zur Zahl 28

Literatur

• Stanley J. Bezuszka: Even Perfect Numbers - An Update. In: Mathematics Teacher 74 (1981), S. 460-463
• Stanley J. Bezuszka / Margaret J. Kenney: Even Perfect Numbers: (Update)². In: Mathematics Teacher 90 (1997), S. 628-633
• Ullrich Kühnel: Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen. In: Mathematische Zeitschrift 52 (1949), S. 201—211