Satz von Tschebyscheff

Ein binomisches Integral ist ein Integral der Form:

$\int x^m \left(ax^n +b \right)^p \,\mathrm{d}x$ , wobei $m,\ n,\ p$ rationale Zahlen sind und $a \ne 0, n \ne 0$.

Mit dem binomischen Integral und nach dem Satz von Tschebyscheff kann man bestimmen, ob eine Funktion elementar integrierbar ist, oder nicht.

Satz von Tschebyscheff:

Ein Binomisches Integral ist elementar integrierbar genau dann, wenn mindestens eine der rationalen Zahlen

$p,\ \frac{m+1}{n}$ bzw. $\frac{m+1}{n}+p$ ganz ist.

Beispiel 1:

$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \,\mathrm{d}x = \int x^0 \left(1 \cdot x^4 +1 \right)^{- \frac{1}{2}} \,\mathrm{d}x$

$\Rightarrow m=0,\ n=4,\ p=- \frac{1}{2}$

$\Rightarrow p=- \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z},$ $\frac{m+1}{n}= \frac{0+1}{4}= \frac{1}{4} \notin \mathbb{Z},$ $\frac{m+1}{n}+p= \frac{0+1}{4}- \frac{1}{2}=- \frac{1}{4} \notin \mathbb{Z}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+x^4}}$ ist nicht elementar integrierbar

Beispiel 2:

$\int \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{ \left(x+1 \right)^2} \,\mathrm{d}x = \int x^{ \frac{1}{3}} \left(1 \cdot x^1 +1 \right)^{ \frac{2}{3}} \,\mathrm{d}x$

$\Rightarrow m= \frac{1}{3},\ n=1,\ p= \frac{2}{3}$

$\Rightarrow p= \frac{2}{3} \notin \mathbb{Z},$ $\frac{m+1}{n}= \frac{{ \frac{1}{3}}+1}{1}= \frac{4}{3} \notin \mathbb{Z},$ $\frac{m+1}{n}+p= \frac{{ \frac{1}{3}}+1}{1}+ \frac{2}{3}=2 \in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{ \left(x+1 \right)^2}$ ist elementar integrierbar

Auffinden der Stammfunktion:

Ist die Funktion elementar integrierbar, so läßt sich mitfolgenden Substitutionen eine explizite Stammfunktion finden:

p ganz: x = t^q wobei q der Hauptnenner von m und n ist

$\frac{m+1}{n}$ ganz: t^q = axⁿ + b wobei q der Nenner von p ist

$\frac{m+1}{n}+p$ ganz: $t^q = \frac{ax^n+b}{x^n}$ wobei q der Nenner von p ist