Satz von Viviani

Der Satz von Viviani, benannt nach dem italienischen Mathematiker Vincenzo Viviani (1622–1703), ist eine einfache Aussage über gleichseitige Dreiecke:

Ist P ein beliebiger Punkt im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks, so ist die Summe der Abstände dieses Punktes von den Seiten konstant:

$s + t + u = h = 3r \,$

Dabei bezeichnet h die Höhe des Dreiecks und r den Inkreisradius.

Dies kann man sich geometrisch einfach klar machen. Die Fläche des gleichseitigen Dreiecks ist so groß wie die Summe der Flächen der farbig markierten Dreiecke.

Für die Fläche des gleichseitigen Dreiecks ABC gilt $\frac{gh}2$, wobei $g=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CA}$ die Grundseite und $h\,$ die Höhe sein soll.

Die Summe der Flächen der farbig markierten Dreiecke ist $\frac{gs}2+\frac{gt}2+\frac{gu}2$.

Also gilt:

$\frac{gh}2=\frac{gs}2+\frac{gt}2+\frac{gu}2$

Damit folgt die Behauptung h = s + t + u.

Der Satz von Viviani lässt sich verallgemeinern auf gleichseitige und sogar auf gleichwinklige Polygone.

Weblinks

• Vivianis Theorem auf cut-the-knot (engl.)
• Eric W. Weisstein: Viviani's Theorem. In: MathWorld. (englisch)