Satz von Weierstrass-Casorati

Der Satz von Weierstraß-Casorati (nach Karl Weierstraß und Felice Casorati) ist ein Satz aus der Funktionentheorie und beschäftigt sich mit dem Verhalten holomorpher Funktionen in Umgebungen wesentlicher Singularitäten. Er hat aber eine schwächere Aussage als die Sätze von Picard.

Der Satz

Sei $a\!$ wesentliche Singularität der holomorphen (analytischen) Funktion $f\!$, dann liegt für jede Umgebung $U\!$ von $a\!$ das Bild $f(U\setminus \{a\})\!$ dicht in $\mathbb{C}\!$.

Anders formuliert: Eine analytische Funktion kommt in der Umgebung einer wesentlichen Singularität jeder komplexen Zahl beliebig nahe.

Beweis

Der Beweis wird indirekt geführt. Es wird also angenommen, dass eine Umgebung U der wesentlichen Singularität a existiert, sodass die Bildmenge $f(U\setminus \{a\})\!$ nicht dicht in $\mathbb{C}\!$ liegt.

Dann gilt

$\exist \ w \in \mathbb{C}, r>0: B(w,r) \cap f(U\setminus \{a\}) = \emptyset$,

wobei B(w,r) den Kreis mit Mittelpunkt w und Radius r bezeichnet. Daraus schließen wir weiter

$\forall z \in U:\;\left|f(z)-w\right| \geq r$

$\Rightarrow \lim_{z \to a}{\frac{f(z)-w}{z-a}}=\infty$,

also ist a ein Pol von $\frac{f(z)-w}{z-a}$

$\Rightarrow \ \exist \ m \in \mathbb{N}: (z-a)^m (f(z)-w))$ beschränkt.

Mit der Dreiecksungleichung erhält man die Abschätzung

$\left| z-a \right|^m \left| f(z) \right| \leq \left| z-a \right|^m \left| f(z)-w\right| + \left| z-a \right|^m \left| w \right|$.

Da die beiden Summanden auf der rechten Seite beschränkt sind, gilt dies auch für den Ausdruck auf der linken Seite.

Damit ist aber $a\!$ eine Polstelle von $f\!$, was wiederum im Widerspruch zur Annahme „$a\!$ ist wesentliche Singularität“ steht.

Siehe auch

• Laurent-Reihe
• Liste mathematischer Sätze