Satz von Weierstraß-Casorati

Der Satz von Weierstraß-Casorati (nach Karl Weierstraß und Felice Casorati) ist ein Satz aus der Funktionentheorie und beschäftigt sich mit dem Verhalten holomorpher Funktionen in Umgebungen wesentlicher Singularitäten. Er hat aber eine schwächere Aussage als die Sätze von Picard.

Der Satz

z₀ ist eine wesentliche Singularität der holomorphen Funktion f genau dann, wenn für jede Umgebung U von z₀ das Bild $f(U\setminus \{z_0\})$ dicht in $\mathbb{C}$ liegt.

Anders formuliert: Eine holomorphe Funktion hat genau dann in z₀ eine wesentliche Singularität, wenn in jeder (noch so kleinen) Umgebung von z₀ jede komplexe Zahl beliebig genau als ein Bild von f approximiert werden kann.

Beweis

Der Beweis wird indirekt geführt. Es wird also angenommen, dass eine Umgebung U der wesentlichen Singularität a existiert, sodass die Bildmenge $f(U\setminus \{a\})\!$ nicht dicht in $\mathbb{C}\!$ liegt.

Dann gilt

$\exist \ w \in \mathbb{C}, r>0: B(w,r) \cap f(U\setminus \{a\}) = \emptyset$,

wobei B(w,r) den Kreis mit Mittelpunkt w und Radius r bezeichnet. Daraus schließen wir weiter

$\forall z \in U:\;\left|f(z)-w\right| \geq r$

$\Rightarrow \lim_{z \to a}{\frac{f(z)-w}{z-a}}=\infty$,

also ist a ein Pol von $\frac{f(z)-w}{z-a}$

$\Rightarrow \ \exist \ m \in \mathbb{N}: (z-a)^m (f(z)-w))$ beschränkt.

Mit der Dreiecksungleichung erhält man die Abschätzung

$\left| z-a \right|^m \left| f(z) \right| \leq \left| z-a \right|^m \left| f(z)-w\right| + \left| z-a \right|^m \left| w \right|$.

Da die beiden Summanden auf der rechten Seite beschränkt sind, gilt dies auch für den Ausdruck auf der linken Seite.

Damit ist aber $a\!$ eine Polstelle von $f\!$, was wiederum im Widerspruch zur Annahme „$a\!$ ist wesentliche Singularität“ steht.

Literatur

• Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4