Schläfli-Symbol

Das Schläfli-Symbol, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli, wird in der Form $\left\{p, q, r, \dots \right\}$ benutzt, um reguläre Polygone, Polyeder und andere Vielflächner, auch in höheren Dimensionen, zu beschreiben.

Wenn p ganz ist, beschreibt das Symbol p ein reguläres Polygon. Ist p ein nicht notwendig gekürzter Bruch, dann beschreibt es einen Stern.

Das Symbol $\left\{p, q\right\}$ beschreibt eine Pflasterung mittels regelmäßiger p-Ecke, wobei q angibt, wie viele solcher Polygone an jeder Ecke zusammenstoßen.

Die Inversion eines Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polygon.

Beispiele

Polygone und Sterne

$\left\{n\right\}$ bezeichnet ein n-Eck.

.

und .

Platonische Körper

$\left\{3, 3\right\}$ bezeichnet das selbstduale Tetraeder.

$\left\{3, 4\right\}$ bezeichnet das Oktaeder, die Inversion $\left\{4, 3\right\}$ den zum Oktaeder dualen Würfel.

$\left\{3, 5\right\}$ bezeichnet das Ikosaeder, die Inversion $\left\{5, 3\right\}$ das zum Ikosaeder duale Dodekaeder.

Platonische Parkette

$\left\{3, 6\right\}$ bezeichnet die Dreieckparkettierung, die Inversion $\left\{6, 3\right\}$ die zur Dreieckparkettierung duale Sechseckparkettierung.

$\left\{4, 4\right\}$ bezeichnet die selbstduale Quadratparkettierung.

Kepler-Poinsot-Körper

$\left\{3, 5/2\right\}$ bezeichnet das Große Ikosaeder, die Inversion $\left\{5/2, 3\right\}$ das zum Großen Ikosaeder duale Große Sterndodekaeder.

$\left\{5, 5/2\right\}$ bezeichnet das Große Dodekaeder, die Inversion $\left\{5/2, 5\right\}$ das zum Großen Ikosaeder duale Kleine Sterndodekaeder.

(Siehe auch Kepler-Poinsot polyhedron in der englischen Wikipedia.)

Vierdimensionale Körper

$\left\{3,3,3\right\}$ bezeichnet das Pentachoron,

$\left\{4,3,3\right\}$ den vierdimensionalen Würfel, das Duale $\left\{3,3,4\right\}$ dazu den regulären 16-Zeller (Hexadekachor),

$\left\{3,4,3\right\}$ den regulären 24-Zeller (Ikositetrachor),

$\left\{5,3,3\right\}$ den regulären 120-Zeller, das Duale $\left\{3,3,5\right\}$ dazu den regulären 600-Zeller.

Literatur

• Coxeter: Regular Polytopes.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Schläfli-Symbol. In: MathWorld. (englisch)