Schwarzsches Lemma

Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Schwarz) ist eine Aussage der Funktionentheorie über holomorphe Endomorphismen der Einheitskreisscheibe, welche einen Fixpunkt aufweisen.

Aussage

Es bezeichne $\mathbb{D} := \left\{z \in \mathbb{C} \,:\, |z| < 1 \right\}$ die Einheitskreisscheibe. Sei $f : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ eine holomorphe Funktion mit f(0) = 0. Dann gilt $|f(z)| \leq |z| \; \forall \, z \in \mathbb{D}$ und $|f'(0)|\leq 1$. Falls in einem Punkt $z_0 \in \mathbb{D}, z_0 \neq 0$ die Gleichheit | f(z₀) | = | z₀ | besteht oder $|f'\!\,(0)| = 1$ gilt, so ist $f(z) = e^{i \lambda} \cdot z$ für ein passendes $\lambda \in \mathbb{R}$.

Beweisidee

Man definiert die Funktion g(z): = f(z) / z. Wegen f(0) = 0 lässt sich g im Nullpunkt holomorph fortsetzen mit Wert $g(0) = f'\!\,(0)$. Die Aussagen des Lemmas folgen dann durch Anwendung des Maximumprinzips auf g.

Anwendungen

• Bestimmung der holomorphen Automorphismengruppe der Einheitskreisscheibe: $\mathrm{Aut}(\mathbb{D}) = \left\{ f(z) = e^{i \lambda} \frac{z - z_0}{1 - \overline{z_0} z} \;,\; \lambda \in [0, 2\pi), \; z_0 \in \mathbb{D} \right\}$.

Hieraus kann man die Automorphismengruppe der oberen Halbebene $\mathbb{H}$ bestimmen und erhält $\mathrm{Aut}(\mathbb{H}) \cong PSL(2, \mathbb{R})$.

• Das schwarzsche Lemma ist eines der Hilfsmittel, die beim modernen, mit Hilfe normaler Familien geführten Beweis des riemannschen Abbildungssatzes verwendet werden.
• Lemma von Schwarz-Pick: Für holomorphe Funktionen $f : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ gilt $\frac{|f'(z)|}{1 - |f(z)|^2} \leq \frac{1}{1 - |z|^2}$ für alle $z \in \mathbb{D}$.

Verschärfung

Das schwarzsche Lemma besagt unter anderem, dass für eine holomorphe Funktion $f : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ mit f(0) = 0 in der Potenzreihenentwicklung $f(z) = \sum_{j=1}^\infty a_j z^j$ die Bedingung $|a_1| \leq 1$ gilt. Ludwig Bieberbach zeigte, dass für injektive Funktionen auch $|a_2| \leq 2$ gilt, und stellte die später nach ihm benannte bieberbachsche Vermutung auf, dass $|a_j| \leq j \; \forall j \in \mathbb{N}\;$. Diese Vermutung wurde 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen.

Literatur

• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg Verlag, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6