Lemma von Schwarz-Pick

Lemma von Schwarz-Pick

Das Lemma von Schwarz-Pick (nach Hermann Schwarz und Georg Alexander Pick) ist eine Aussage aus der Funktionentheorie über holomorphe Endomorphismen des Einheitkreises, die das Schwarzsche Lemma verallgemeinert. Im Rahmen der hyperbolischen Geometrie bedeutet es, dass holomorphe Endomorphismen Kontraktionen sind.

Inhaltsverzeichnis

Aussage

Es bezeichne {\mathbb D} := \left\{z \in \mathbb{C} \,:\, |z| < 1 \right\} die Einheitskreisscheibe und f : \mathbb{D} \to \mathbb{D} sei eine holomorphe Funktion. Dann gilt für alle z_1,z_2\in {\mathbb D}, z_1 \not= z_2

\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right|
\le \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}

und für alle z\in {\mathbb D}

\frac{\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^2} \le
\frac{1}{1-\left|z\right|^2}.

Die zweite Aussage folgt aus der ersten, indem man durch | z1z2 | teilt und dann z1 gegen z2 gehen lässt.

Anwendungen

In der hyperbolischen Geometrie ist

 d(z_1,z_2)=\tanh^{-1}\left(\frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}\right)

der hyperbolische Abstand. Die erste Ungleichung des Lemmas von Schwarz-Pick sagt demnach aus, dass holomorphe Funktionen {\mathbb D}\rightarrow{\mathbb D} bzgl. dieser Metrik Kontraktionen sind.

Ist f(0) = 0 und setzt man in der ersten Ungleichung z2 = 0, so erhält man als Spezialfall die Aussage des Schwarzschen Lemmas.

Literatur

  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07247-4, (Vieweg-Studium 47: Aufbaukurs Mathematik).

Weblinks


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