Sierpinski-Teppich

Der Sierpinski-Teppich ist ein Fraktal, das auf den polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński zurückgeht. Aus einem Quadrat wird in der Mitte ein Neuntel der Fläche entfernt. Aus den um das Loch verbliebenen acht quadratischen Feldern wird wiederum je ein Neuntel der Fläche entfernt, und so weiter.

Sierpinski-Teppich:
Stufe 0	Stufe 1	Stufe 2	Stufe 3	Stufe 4	Stufe 5

Die fraktale Dimension des Sierpinski-Teppichs beträgt $\frac{\ln 8}{\ln 3}\approx 1{,}8928$; insbesondere ist sein Flächeninhalt (im Lebesgue-Maß) null.

Die Konstruktion ähnelt stark der Konstruktion der Cantor-Menge, dort wird aus einer Strecke der mittlere Teil entfernt, oder dem Sierpinski-Dreieck, bei dem aus einem Dreieck der Mittelteil entfernt wird. In 3 Dimensionen wird aus der Konstruktion des Sierpinski-Teppichs die Konstruktion des Menger-Schwamms.

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt des (verbliebenen) Teppichs lässt sich als Folge darstellen: Geht man davon aus, dass die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats 1 ist, so gilt für die explizite Darstellung $A_n = \left(\frac{8}{9}\right)^n$ und für die rekursive Darstellung $A_{n+1} = A_n-\frac{8^n}{9^{n+1}}$, $n \in \N = \{0; 1; 2; 3; \ldots\}, A_0=1$.

Computer-Programm

Das folgende Java-Applet zeichnet einen Sierpinski-Teppich mit Hilfe einer rekursiven Methode:

import java.awt.*;
import java.applet.*;
 
public class SierpinskiCarpet extends Applet 
{
    private Graphics g = null;
    private int d0 = 729; // 3^6
 
    public void init() 
    {
        g = getGraphics();
        resize(d0, d0);
    }
 
    public void paint(Graphics g) 
    {
        // Rekursion starten:
        drawSierpinskiCarpet (0, 0, getWidth(), getHeight() );
    }
 
    private void drawSierpinskiCarpet(int xOL, int yOL, int breite, int hoehe) 
    {
        if (breite>2 && hoehe>2) 
        {
            int b = breite/3;
            int h = hoehe/3;
            g.fillRect (xOL+b, yOL+h, b, h);
            for (int k=0; k<9; k++) if (k!=4) 
            {
                int i=k/3;
                int j=k%3;
                drawSierpinskiCarpet (xOL+i*b, yOL+j*h, b, h); // Rekursion
            }
        }
    }
}

Weblinks

 Commons: Sierpinski-Teppich – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien