Simplizialkomplex

Ein Simplizialkomplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Mit diesen Komplexen versucht man unter anderem topologische Räume zu triangulieren. Aus diesen Triangulierungen kann man eine algebraische Struktur gewinnen, mit der man den zugrundeliegenden Raum auf Invarianten untersuchen kann.

Definition

Ein dreidimensionaler Simplizialkomplex

Ein Simplizialkomplex $\mathcal{K}$ ist eine endliche Zusammenstellung von abstrakten Simplizes. Ein abstrakter Simplex $\sigma \in \mathcal{K}$ ist eine nicht leere, endliche Menge, für die jede offene Teilemenge $\sigma' \subset \sigma$ wieder in $\mathcal{K}$ liegt. Ein Element eines Simplexes wird Ecke oder Vertex und jede nicht leere Teilmenge wird Facette, Face oder Seite genannt.

Die Dimension eines abstrakten Simplex, das k + 1 Ecken enthält, ist definiert als k und die Dimension des Simplizialkomplexes $\mathcal{K}$ ist definiert als das Maximum der Dimension von allen Simplizes. Falls die Dimension der Simplizes nicht beschränkt ist, dann ist $\mathcal{K}$ unendlichdimensional.

Der Simplizialkomplex $\mathcal{K}$ heißt endlich, falls er eine endliche Menge ist, und lokal endlich, falls jede Ecke nur zu endlich vielen Simplizes gehört.

Der Simplizialkomplex als Kettenkomplex

Sei $\mathcal{K}$ ein endlicher Simplizialkomplex. Die p-te simpliziale Gruppe von $\mathcal{K}$ ist die freie abelsche Gruppe, die von der Menge der Simplizes mit Dimension p erzeugt wird, sie wird mit $C^\Delta_p(\mathcal{K})$ notiert. Die Elemente der Gruppe heißen simpliziale p-Ketten. Wählt man eine totale Ordnung für alle Ecken, die in irgendeinem Simplex von $\mathcal{K}$ liegen, so erhält man durch Einschränkung auch eine Ordnung für jedes einzelne p-Simplex. Ein Randoperator $\partial \colon C^\Delta_p(\mathcal{K}) \to C^\Delta_{p-1}(\mathcal{K})$ wird dann definiert durch

$\partial(\langle v_{k_1}, \ldots , v_{k_p} \rangle) := \sum_{i=0}^p (-1)^i \langle v_{k_0}, \ldots , v_{k_{i-1}}, v_{k_{i+1}} , \ldots v_{k_p} \rangle ,$

wobei $\langle v_{k_1}, \ldots , v_{k_p} \rangle$ das aus den Ecken erzeugte Gruppenelement meint. Für den Randoperator gilt $\partial (\partial c)= 0$ für alle simplizialen p-Ketten c. Daher ist $(C^\Delta_p(\mathcal{K}),\partial)$ ein Kettenkomplex und man kann auf gewohnte Weise auf diesem eine Homologie erklären. Diese Homologie wird simpliziale Homologie genannt.

Siehe auch

• Simpliziale Menge

Quellen

• John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds. Springer-Verlag, New York NY u. a. 2000, ISBN 0-387-98759-2 (Graduate Texts in Mathematics 202), Seiten 96, 323-324
• S. N. Malygin & M. M. Postnikov: Simplicial complex. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.