Zellkomplex

Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.

Definition

Eine k-Zelle ist ein topologischer Raum, der zu B^k: = [0,1]^k homöomorph ist. Eine offene k-Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von B^k homöomorph ist. k nennt man die Dimension der Zelle.

Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum X, der in offene Zellen $(c_i)_{i \in I}$ zerfällt, wobei gilt:

1. zu jeder k-Zelle $c_i \subseteq X$ existiert eine charakteristische Abbildung $f_i: B^k \rightarrow X$ so dass das Innere von B^k homöomorph auf c_i und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension < k stetig abgebildet wird.
2. $M \subseteq X$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M \cap f_i(B^k)$ für alle $i \in I$ abgeschlossen ist.

Eigenschaften

Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.

Beispiele

• Jeder Simplizialkomplex ist ein CW-Komplex.
• $\mathbb{R}$ ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen c_i = (i,i + 1) und die charakteristischen Abbildungen $f_i: [0, 1] \to \mathbb{R}, x \mapsto i+x$.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press 2010, ISBN 978-0-521-79540-1, S. 5ff., S. 102ff., S. 106ff
• D.O. Baladze: CW-complex. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.