Kettenkomplex

Ein (Ko-)Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von R-Moduln oder abelschen Gruppen oder allgemein Objekten in abelschen Kategorien, die durch Abbildungen kettenartig verknüpft sind.

Definition

Kettenkomplex

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

$\,C_n , \,n \isin \mathbb{Z}$

von R-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

$d_n: C_n \rarr C_{n-1}$

von R-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

$\,d_n d_{n+1} = 0$

für alle n gilt. Der Operator d_n heißt Randoperator. Elemente von C_n heißen n-Ketten. Elemente von

$Z_n(C,d):=\ker d_n\subseteq C_n$ bzw. $B_n(C,d):=\mathop{\mathrm{im}} d_{n+1}\subseteq C_n$

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung $\,d_n d_{n+1}=0$ ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

$\,H_n(C,d) := Z_n(C,d)/B_n(C,d)$

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von $\,( C, d)$, ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Kokettenkomplex

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

$C^n,\, n \isin \mathbb{Z}$

von R-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

$\,d^n : C^n \rarr C^{n+1}$

von R-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

$\,d^n d^{n-1} = 0$

für alle n gilt. Elemente von $\,C^n$ heißen n-Koketten. Elemente von

$\,Z^n:=\ker d^n\subseteq C^n$ bzw. $B^n:=\operatorname{im} d^{n-1}\subseteq C^n$

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung $\,d^n d^{n-1} = 0$ ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

$\,H^n(C,d) := Z^n(C,d)/B^n(C,d)$

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von $\,(C, d)$, ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

Eigenschaften

• Ein Kettenkomplex $(C_\bullet,d_\bullet)$ ist genau dann exakt an der Stelle i, wenn $H_i(C_\bullet,d_\bullet)=0$ ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.

Kettenhomomorphismus

Eine Funktion

$f : (A_\bullet, d_{A,\bullet}) \to (B_\bullet, d_{B,\bullet})$

heißt (Ko)-Kettenhomomorphismus, falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen $f_n : A_n \rightarrow B_n$ existiert, welche mit dem Randoperator d vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:

$d_{B,n} \circ f_n = f_{n-1} \circ d_{A,n}$.

Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend

$d_{B,n} \circ f_{n} = f_{n+1} \circ d_{A,n}$.

Diese Bedingung stellt sicher, dass f Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Euler-Charakteristik

Es sei (C,d) ein Kokettenkomplex aus R-Moduln über einem Ring R. Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

χ(C,d) =	∑	( − 1)idim KHi(C,d).
	i

Sind auch die einzelnen Komponenten Cⁱ endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch

χ(C,d) =	∑	( − 1)idim KCi.
	i

Im Spezialfall eines Komplexes $C^0\to C^1$ mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der Rangsatz.

Beispiele

• Simplizialkomplex
• Der singuläre Kettenkomplex zur Definition der singulären Homologie und der singulären Kohomologie topologischer Räume.
• Gruppen(ko)homologie.
• Jeder Homomorphismus $f\colon A\to B$ definiert einen Kokettenkomplex
  $(C,d)=(\ldots\to0\to0\to A\to B\to0\to0\to\ldots).$
  Legt man die Indizes so fest, dass sich A in Grad 0 und B in Grad 1 befindet, so ist
  H⁰(C,d) = ker f und $H^1(C,d)=\mathrm{coker}\,f.$
  Die Euler-Charakteristik
  $\dim\ker f-\dim\mathrm{coker}\,f$
  von (C,d) wird in der Theorie der Fredholm-Operatoren der Fredholm-Index von f genannt. Dabei bezeichnet $\mathrm{coker}\,f$ den Kokern von f.
• Ein elliptische Komplex oder ein Dirac Komplex ist ein Kokettenkomplex, der in der Globalen Analysis von Bedeutung ist. Diese treten zum Beispiel im Zusammenhang mit dem Atiyah-Bott-Fixpunktsatz auf.

Literatur

• P. J. Hilton, U. Stammbach: A Course in Homological Algebra. Springer, New York, NY u. a. 1971, ISBN 0-387-90033-0 (Graduate Texts in Mathematics 4).