Homologie (Mathematik)

Eine Homologie (griechisch: όμος, homos = gleich, λόγος, logos = Sinn) ist ein mathematisches Objekt. Es wurde im Bereich der algebraischen Topologie entwickelt. Später wurden Homologien auch als rein algebraische Objekte betrachtet, woraus sich das Teilgebiet der homologischen Algebra entwickelte. Eine Homologie ist eine Folge von mathematischen Objekten, den Homologiegruppen.

Im Bereich der algebraischen Topologie sind die Homologien beziehungsweise die Homologiegruppen Invarianten eines topologischen Raums, sie helfen also dabei topologische Räume zu unterscheiden.

Konstruktion von Homologiegruppen

Man geht im Allgemeinen wie folgt vor: Einem mathematischen Objekt X wird zunächst ein Kettenkomplex zugeordnet, der Information über X enthält. Ein Kettenkomplex ist eine Folge von Moduln $A_0, A_1, \dots$ verbunden durch Homomorphismen $d_n\colon A_n \to A_{n-1}$, so dass die Hintereinanderausführung je zweier dieser Abbildungen die Nullabbildung ist: $d_n\circ d_{n+1} = 0$ für jedes n. Dies bedeutet, dass das Bild der (n+1)-ten Abbildung stets im Kern der n-ten Abbildung enthalten ist. Man definiert nun die n-te Homologiegruppe von X als den Quotientenmodul

$\,H_n(X) = \mathrm{ker}(d_n) / \mathrm{im}(d_{n+1})(X).$

Ein Kettenkomplex heißt exakt, wenn das Bild der (n+1)-ten Abbildung stets der Kern der n-ten Abbildung ist; die  Homologiegruppen  von X messen also, „wie unexakt“ der X zugeordnete Kettenkomplex ist.

Beispiele

Das erste Beispiel stammt aus der algebraischen Topologie: die simpliziale Homologie eines simplizialen Komplex X. Hier ist A_n der freie Modul über den n-dimensionalen orientierten Simplizes von X. Die Abbildungen d_n heißen Randabbildungen und bilden das Simplex mit den Ecken

$(a[0], a[1], \dots, a[n])$

auf die alternierende Summe der „Randflächen“

$\sum_{i=0}^n (-1)^i(a[0], \dots, a[i-1], a[i+1], \dots, a[n])$

ab.

Für Moduln über einem Körper (d. h. Vektorräume) beschreibt die Dimension der n-ten Homologiegruppe von X die Anzahl der n-dimensionalen Löcher von X.

Mit diesem Beispiel kann man eine simpliziale Homologie für jeden topologischen Raum definieren. Der Kettenkomplex für X wird so definiert, dass A_n der freie Modul über allen stetigen Abbildungen vom n-dimensionalen Einheitssimplex nach X ist. Die Homomorphismen d_n ergeben sich aus den simplizialen Randabbildungen.

In der homologischen Algebra benutzt man Homologie, um abgeleitete Funktoren zu definieren. Man betrachtet dort einen additiven Funktor F und einen Modul X. Der Kettenkomplex für X wird wie folgt konstruiert: F₁ sei ein freier Modul und $p_1\colon F_1 \to X$ ein Epimorphismus, F₂ sei ein freier Modul, der die Eigenschaft besitzen soll, dass ein Epimorphismus $p_2\colon F_2 \to \mathrm{ker}\,p_1$ existiert, $\ldots$ Man erhält also eine Sequenz freier Moduln F_n und Homomorphismen $p_n\colon F_n \to F_{n-1}$ und durch Anwendung von F einen Kettenkomplex. Die n-te Homologie H_n dieses Komplexes hängt, wie man zeigen kann, nur von F und X ab. Man schreibt H_n = :DⁿF(X) und nennt DⁿF den n-ten abgeleiteten Funktor von F.

Homologiefunktoren

Die Kettenkomplexe bilden eine Kategorie: Ein Morphismus – man sagt: eine Kettenabbildung – vom Kettenkomplex $(A_n, d^A_n)$ in den Kettenkomplex $(B_n, d^B_n)$ ist eine Folge von Modulhomomorphismen $f_n\colon A_n \to B_n$, so dass $f_{n-1} \circ d^A_n = d_n^B \circ f_n$ für jedes n. Die n-te Homologiegruppe H_n kann man als Funktor von der Kategorie der Kettenkomplexe in die Kategorie der Moduln über R auffassen.

Wenn der Kettenkomplex von X funktoriell abhängt (d. h. jeder Morphismus $X \to Y$ induziert eine Kettenabbildung vom Kettenkomplex von X in den von Y), dann sind die H_n Funktoren von der Kategorie, zu der X gehört, in die Kategorie der Moduln.

Ein Unterschied zwischen Homologie und Kohomologie liegt darin, dass die Kettenkomplexe in der Kohomologie kontravariant von X abhängen und daher die Homologiegruppen (die dann Kohomologiegruppen genannt werden und in diesem Kontext mit Hⁿ bezeichnet werden) kontravariante Funktoren sind. Des Weiteren hat man meist auf der graduierten Kohomologiegruppe eine kanonische Ringstruktur, etwas Vergleichbares gibt es auf dem Niveau der Homologie nicht.

Eigenschaften

Ist (A_n,d_n) ein Kettenkomplex, so dass alle (bis auf endlich viele) A_n null sind und alle anderen endlich erzeugte freie Moduln sind, dann kann man die Euler-Charakteristik

$\chi = \sum (-1)^n \, \mathrm{rank}\,(A_n)$

definieren. Man kann zeigen, dass die Euler-Charakteristik auch auf dem Homologielevel berechnet werden kann:

$\chi = \sum (-1)^n \, \mathrm{rank}(H_n)$

In der algebraischen Topologie liefert das zwei Wege, die Invariante χ für das Objekt X, aus dem der Kettenkomplex erzeugt wurde, auszurechnen.

Jede kurze exakte Sequenz

$0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$

von Kettenkomplexen liefert eine lange exakte Sequenz der Homologiegruppen

$\cdots \rightarrow H_n(A) \rightarrow H_n(B) \rightarrow H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A) \rightarrow H_{n-1}(B) \rightarrow H_{n-1}(C) \rightarrow H_{n-2}(A) \rightarrow \cdots \,$

Alle Abbildungen dieser exakten Sequenz sind durch die Abbildungen zwischen den Kettenkomplexen induziert, außer den Abbildungen $H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A)$, die verbindende Homomorphismen genannt werden und deren Existenz mit dem Schlangenlemma bewiesen wird.

Anwendungen

Als homolog werden z. B. zwei verschiedene Kurven mit gleichen Anfangspunkten und gleichen Endpunkten bezeichnet, wenn gewisse Linienintegrale, integriert über diese Kurven, trotz deren Verschiedenheit stets identische Resultate ergeben. Zum Beweis muss man zeigen, dass das geschlossene Gebiet X, das dadurch entsteht, dass man zuerst die eine Kurve und anschließend, in negativer Orientierung, die andere durchläuft, eine verschwindende  Homologiegruppe H₂(X) besitzt. Dies ist der Fall, wenn in X, topologisch gesehen, keine „Löcher“ existieren (wenn es N Löcher besäße, wäre H₂(X)=N).

Ähnliche Anwendungen existieren allgemein in der Differentialtopologie, z. B. in der de-Rham-Kohomologie und bei den sog. Alternierenden Differentialformen.

Siehe auch

• Homologietheorie
• Singuläre Homologie

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Homology. In: MathWorld. (englisch)