Soddy-Kreis

Frederick Soddy

Die Soddy-Kreise sind die Lösungen für einen Spezialfall des apollonischen Problems, wobei die drei gegebenen Kreise, deren Mittelpunkte die Ecken eines Dreiecks sind, einander berühren. Sie sind benannt nach Frederick Soddy, der anhand dieser Kreise den Satz von Descartes wiederentdeckte und am 20. Juni 1936 in der Zeitschrift Nature in Form eines Gedichtes mit dem Titel The kiss precise veröffentlichte.

Definition

Gegeben seien ein Dreieck ABC sowie die drei Kreise mit den Mittelpunkten A, B bzw. C, die jeweils durch die Berührpunkte des Inkreises mit den anliegenden Dreiecksseiten gehen. (Diese drei Kreise berühren sich paarweise.) Die beiden Soddy-Kreise sind nun diejenigen Kreise, welche die genannten drei Kreise berühren. Im Allgemeinen unterscheidet man den inneren und den äußeren Soddy-Kreis.

Eigenschaften

• Der Mittelpunkt des äußeren Soddy-Kreises ist der isoperimetrische Punkt.
• Der Mittelpunkt des inneren Soddy-Kreises ist der Punkt des gleichen Umwegs.
• Für die Radien der Soddy-Kreise gilt

$r = \left| \frac{\Delta}{4R+r\pm U} \right|.$

Dabei bezeichnet Δ den Flächeninhalt von ABC, r den Inkreisradius, R den Umkreisradius und U den Umfang. Das Pluszeichen gilt für den inneren Soddy-Kreis, das Minuszeichen für den äußeren.

Quellen

• Dergiades, N.: The Soddy Circles in Forum Geometricorum - Band 7 (2007,S. 191-197) (Online-Version)
• Eric W. Weisstein: Soddy Circles. In: MathWorld. (englisch)
• Soddy Formula
• Soddy Circles auf cut-the-knot