Isoperimetrischer Punkt

Der isoperimetrische Punkt ist ein ausgezeichneter Punkt in einem Dreieck ABC. Es handelt sich um den Punkt P in diesem Dreieck, für den die Teildreiecke PBC, PCA und PAB gleichen Umfang haben. Der isoperimetrische Punkt hat die Kimberling-Nummer X(175).

Eigenschaften

• Der isoperimetrische Punkt ist harmonisch verwandt zum Punkt des gleichen Umwegs in Bezug auf den Inkreismittelpunkt und den Gergonne-Punkt und somit kollinear zu diesen drei Punkten.
• Die Umfänge von PBC, PCA und PAB sind gleich dem Durchmesser des äußeren Soddy-Kreises.
• Der isoperimetrische Punkt existiert genau dann, wenn der Umfang von ABC größer ist als 4R + r, wobei R der Radius des Umkreises und r der Radius des Inkreises ist.

Koordinaten

Isoperimetrischer Punkt (X175)
Trilineare Koordinaten	$\left(\sec\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}-1\right) : \left(\sec\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha}{2}-1\right) : \left(\sec\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}-1\right)$
Baryzentrische Koordinaten	$\left(a-\frac{\Delta}{s-a}\right) : \left(b-\frac{\Delta}{s-b}\right) : \left(c- \frac{\Delta}{s-c}\right)$

Dabei bedeutet Δ den Flächeninhalt und s den halben Umfang von ABC.

Weblinks

• Site Dick Klingens
• MathWorld