Straus-Erdős-Vermutung

Die zahlentheoretische Erdős-Straus-Vermutung (nach den Mathematikern Paul Erdős und Ernst G. Straus) besagt, dass $\frac{4}{n}$ stets einer Summe von drei Stammbrüchen entspricht.

Die Vermutung

Die Gleichung $\frac{4}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ besitzt für jedes natürliche n > 1 eine Lösung, wobei a, b und c ebenfalls natürliche Zahlen sind.

Geometrische Interpretation

Die geometrische Interpretation der Erdős-Straus-Vermutung liefert für jedes natürliche n > 1 einen Quader mit den Kantenlängen a, b und c (a, b und c natürliche Zahlen), so dass dessen 8-faches Volumen geteilt durch dessen Oberfläche den Wert von n Längeneinheiten ergibt.

Beispiele, Bemerkungen

• Zwei Lösungen für n = 8 sind $\frac{4}{8} = \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{24}$.

• Für alle n mit $1 < n \le 10^{14}$ wurde eine Lösung gefunden.

• Für alle n = 4k mit natürlichem k ist die Behauptung trivial mit a = b = c = 3k, da $\frac{4}{n} = \frac{4}{4k} = \frac{1}{k} ~\text{und}~ \frac{1}{3k} + \frac{1}{3k} + \frac{1}{3k} = 3 \cdot \frac{1}{3k} = \frac{1}{k}$

• Auch der etwas allgemeinere Fall n = 2k mit natürlichem k ist sehr einfach mit a = k und b = c = 2k zu lösen, denn $\frac{4}{n} = \frac{4}{2k} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k}$ und $\frac{1}{k} + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k} = \frac{1}{k} + \frac{2}{2k} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k}$.

Mini-Erdős-Straus-Vermutung

Eine Variante der Erdős-Straus-Vermutung ist die Mini-Erdős-Straus-Vermutung, die besagt, dass zu der Gleichung $\frac{3}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ für jedes natürliche n > 1 eine Lösung mit natürlichen a und b existiert.

Diese Vermutung ist falsch, da für die Gleichung $\frac{3}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ genau dann keine Lösung für natürliche a und b existiert, wenn alle Primfaktoren von n die Form 6k + 1 haben.