Superellipse

Superellipsen

Eine Superellipse, auch Lamésche Kurve oder Lamésches Oval, ist eine geometrische Figur (Kurve), die ein „Mittelding“ zwischen Ellipse und Rechteck (bzw. zwischen Kreis und Quadrat) darstellt. Eine Superellipse kann in einem kartesischen Koordinatensystem als Menge aller Punkte (x, y) beschrieben werden, für die gilt:

$\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1,$

mit den reellen Werten n ≥ 0 und a, b: Halbachsen.

Der Fall n = 2 führt auf eine normale Ellipse; größeres n (> 2) liefert die eigentliche Superellipse, die sich zunehmend einem Rechteck annähert; n unterhalb von 2 führt auf Subellipsen, die Ecken in Richtung der x- und y-Achsen aufweisen und sich für n gegen 0 dem Achsenkreuz annähern.

Der Begriff „Superellipse“ geht auf den dänischen Wissenschaftler, Erfinder und Literaten Piet Hein (1905–1996) zurück. Die allgemeine kartesische Beschreibung stammt von dem französischen Physiker und Mathematiker Gabriel Lamé (1795–1870), der die Gleichung der Ellipse auf diese Weise verallgemeinerte.

Anwendungen

Piet Heins Superei

Der dänische Wissenschaftler Piet Hein popularisierte die Verwendung der Superellipse in der Architektur, der Stadtplanung und im (Möbel-) Design. Er schuf in diesem Zusammenhang die Marke SUPERELLIPSE® (n = 2,5).

Außerdem entwarf Piet Hein das Super-Ei (Super-Egg), ein dreidimensionales Superellipsoid. Es handelt sich um einen Rotationskörper, der auf einer Superellipse mit n = 2,5 basiert:

$\left|\, \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{3} \,\right|^{2{,}5} + \; \left|\, \frac{z}{4} \,\right|^{2{,}5} = 1$

Anders als ein reguläres Ellipsoid steht dieses Superellipsoid auf einer planen Oberfläche aufrecht.

Donald Knuth benutzt Superellipsen in den Computer-Modern-Schriften und den Programmen Metafont und Metapost mit denen diese Schriften erstellt wurden. Der Unterschied zwischen dem Buchstaben O und der Ziffer 0 (Null) in Computer Modern Typewriter ist vor allem durch die unterschiedliche Superness bedingt. Dieser Parameter Superness (kurz s) hat folgenden Zusammenhang mit dem oben erwähnten Parameter n:

$s^n = \frac{1}{2}$

Damit sind auch Rechtecke möglich, die man mit s = 1 (n → ∞) erhält.

Spezielle Superellipsen

Wählt man n = 1, so entsteht ein Parallelogramm (genauer eine Raute oder Rhombus) mit der Fläche a * b / 2. Bei n = 2/3 (und a = b) liegt eine Astroide vor.

Siehe auch

• Kegelschnitt
• Superformel

Weblinks

• Lame Curves. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)
• Eric W. Weisstein: Superellipse. In: MathWorld. (englisch)
• Lamésches Oval/Superellipse (Java-Applet)
• Superellipsoid (Java-Applet)