Kartesisches Koordinatensystem

Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales Koordinatensystem. Es ist nach dem latinisierten Namen Cartesius des französischen Mathematikers René Descartes benannt, der das Konzept der „kartesischen Koordinaten“ bekannt gemacht hat. Im zwei- und dreidimensionalen Raum handelt es sich um das am häufigsten verwendete Koordinatensystem, da sich viele geometrische Sachverhalte in diesem anschaulich und übersichtlich beschreiben lassen.

Das Koordinatensystem im zweidimensionalen Raum

Ebenes (2-dimensionales) kartesisches Koordinatensystem mit 2 Punkten P und Q und ihren Koordinaten

Die beiden Richtungsachsen stehen orthogonal aufeinander, schneiden sich also im 90°-Winkel. Die Koordinatenlinien sind Geraden in konstantem Abstand voneinander. Geht man von der mathematischen Rechtshändigkeit aus, so bezeichnet man die horizontale Achse als Abszissenachse (von lat.: abscissa „die abgeschnittene“ Linie) oder Rechtsachse. Die vertikale Achse heißt Ordinatenachse (von lateinisch (linea) ordinata, „geordnet(e Linie)“^[1]) oder Hochachse.

Häufig werden in der Mathematik die Variablen x und y zur Bezeichnung der Koordinaten verwendet, zum Beispiel dann, wenn Geraden oder Kurven durch Gleichungen beschrieben werden. Man spricht dann auch von der x-Achse (statt Abszissenachse) und der y-Achse (statt Ordinatenachse). Den x- bzw. y-Wert eines Punktes bezeichnet man als Abszisse bzw. Ordinate. Manchmal werden auch die Koordinatenachsen abkürzend „Abszisse“ oder „Ordinate“ genannt.

Als Eselsbrücke kann man sich merken, dass immer die jeweils im Alphabet vorne stehenden und hinten stehenden Bezeichnungen zusammengehören: x zu Abszisse und y zu Ordinate. Noch eine Eselsbrücke: Die Ordinatenachse zeigt (bei positiven y-Werten) nach oben – die Abszissenachse muss also (bei positiven x-Werten) nach rechts zeigen.

Der Punkt $O(0\mid 0)$, in dem sich die beiden Achsen treffen, wird Koordinatenursprung oder origo (lat. Ursprung) genannt.

Für einen Punkt P mit Koordinaten x und y schreibt man P(x | y) oder auch P = (x,y).

Linkshändige kartesische Koordinatensysteme

In der Geodäsie sind die Koordinatenachsen vertauscht, zudem beschränken sich geodätische Koordinatensysteme, um negative Werte zu vermeiden, in aller Regel auf den ersten Quadranten.

Mehr-als-zweidimensionales Koordinatensystem

Im dreidimensionalen Raum kommt noch eine dritte Achse hinzu, die räumliche Achse (z-Achse, hier nicht abgebildet), Applikate (in der Geographie: Kote) genannt. Meistens liegen hier x- und y-Achse in der Ebene, und die z-Achse dient der Höhenanzeige. Grafisch ergeben Punkte hier eine Punktwolke.

Wie im zweidimensionalen Fall sind auch bei dreidimensionalen geodätischen Koordinatensystemen x- und y-Achse vertauscht, während die z-Achse wie auch beim mathematischen Koordinatensystem nach oben zeigt.

In der Verallgemeinerung sieht die Mathematik höherdimensionale Räume (siehe: 4D) vor. So wird beispielsweise die Achse für die Ausdehnung in der vierten Raumdimension dann manchmal als w-Achse bezeichnet, die Ausdehnungsrichtungen als ana („oben“) und kata („unten“).

Beispielhafte Anwendungen des kartesischen Koordinatensystems

In der Physik wird die Rechtsachse häufig zur Darstellung der Zeit t als unabhängiger Variabler verwendet, weshalb dann von ihr als der Zeit- bzw. t-Achse die Rede ist, während die Hochachse die zeitlich veränderliche Größe, z. B. den zurückgelegten Weg s oder die Geschwindigkeit v, repräsentiert und dementsprechend z. B. als s- oder v-Achse bezeichnet wird.

Dreidimensionale Koordinatensysteme erlauben z. B. die Darstellung zweidimensionaler statistischer Verteilungen, bei denen die Höhenachse die Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion angibt.

Ihre vielleicht bekannteste Anwendung haben dreidimensionale Koordinaten heute in der Navigation, etwa bei der Lokalisierung eines Objekts mittels GPS oder als Bezugssystem für die Beschreibung der räumlichen Orientierung eines Objekts per RPY-Winkel (wobei die dazu verwendeten Koordinatensysteme nur lokal als annähernd kartesisch gelten können, in Wirklichkeit jedoch Kugelkoordinatensysteme sind).

Geschichte

Apollonios schreibt in Definition 4 der Konika von Parallelen, die zum Durchmesser eines Kegelschnittes „geordnet gezogen“ werden. Der griechische Ausdruck für „geordnet“, tetagmenos, wird lateinisch als ordinatim wiedergegeben. Das ist der Ursprung des Wortes „Ordinate“.^[2]

Die erste bekannte Verwendung der Worte Abszisse und Ordinate findet sich in einem Brief von Gottfried Wilhelm Leibniz an Henry Oldenburg vom 27. August 1676.^[3]

Siehe auch

• Andere Koordinatensysteme sind das Polarkoordinatensystem in der Ebene, sowie Kugelkoordinaten- und Zylinderkoordinatensystem im Raum.
• Der Begriff kartesisches Koordinatensystem wird in der synthetischen Geometrie für Ebenen verallgemeinert: Dort heißt ein affines Koordinatensystem (O,E₁,E₂) kartesisch, wenn die Einheitspunkte E₁,E₂ benachbarte Ecken in einem Quadrat mit Mittelpunkt O sind. → siehe präeuklidische Ebene.

Einzelnachweise

1. ↑ Duden, das große Fremdwörterbuch, Mannheim & Leipzig, 2000, ISBN 3-411-04162-5.
2. ↑ Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Marix Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1, S. 132
3. ↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-22471-8, S. 331

Weblinks

• Einfache und verständliche Erklärung (hauptsächlich durch Abbildungen)