Symmetrisches Lanczos-Verfahren

In der numerischen Mathematik ist das symmetrische Lanczos-Verfahren ein Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen für symmetrische Matrizen $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Es stellt sowohl einen Spezialfall des unsymmetrischen Lanczos-Verfahrens, als auch des Arnoldi-Verfahrens dar.

Der Algorithmus

Es sei eine quadratische hermitesche Matrix $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ und ein beliebiger Startvektor $r_0\in\mathbb{C}^n$ ungleich Null gegeben. Dann erstellt der folgende Algorithmus eine Orthonormalbasis q₁,..,q_k des Krylow-Unterraums $\mathcal{K}=\mathcal{K}(A,r_0)$. Diese kann dann zur Berechnung von Eigenwerten oder der Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt werden.

1. Setze q₀ = 0
2. for k = 1,..,n do
3. $\beta_{k-1} =\|r_{k-1}\|$
4. q_k = r_{k − 1} / β_{k − 1}
5. r_k = Aq_k
6. $\alpha_k =\langle q_k,r_k\rangle$
7. r_k = r_k − α_kq_k − β_{k − 1}q_{k − 1}
8. end for

Literatur

• Andreas Meister, Christof Vömel: Numerik linearer Gleichungssysteme. Eine Einführung in moderne Verfahren. 2. Aufl. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-13135-7.