Orthonormalbasis

Eine Orthonormalbasis (ONB) oder vollständiges Orthonormalsystem ist in den mathematischen Gebieten lineare Algebra und Funktionalanalysis eine Menge von Vektoren aus einem Vektorraum mit Skalarprodukt (Innenproduktraum), welche auf die Länge eins normiert und zueinander orthogonal (daher auch Orthonormalbasis) sind und die den Vektorraum erzeugen. Im endlichdimensionalen Fall ist dies eine Basis des Vektorraums. Im unendlichdimensionalen Fall handelt es sich nicht um eine Vektorraumbasis.

Verzichtet man auf die Bedingung, dass die Vektoren auf die Länge eins normiert sind, so spricht man von einer Orthogonalbasis.

Der Begriff der Orthonormalbasis ist sowohl im Fall endlicher Dimension als auch für unendlichdimensionale Räume, insbesondere Hilberträume, von großer Bedeutung.

Im Folgenden sei V ein endlich- oder unendlichdimensionaler Vektorraum über $\R$ oder $\C$ und sei $\|\cdot \| = \sqrt{\langle.,.\rangle}$ die durch das Skalarprodukt induzierte Norm. Im komplexen Fall wird dabei vorausgesetzt, dass das Skalarprodukt linear im zweiten Argument und semilinear im ersten ist, also

$\lambda \langle v, w \rangle = \langle \bar \lambda v, w \rangle = \langle v, \lambda w \rangle$

für alle Vektoren $v,w \in V$ und alle $\lambda \in \C$.

Endlichdimensionale Räume

Definition und Existenz

Unter einer Orthonormalbasis eines n-dimensionalen Innenproduktraums V versteht man eine Basis $B = \{b_1,\ldots,b_n\}$ von V, die ein Orthonormalsystem ist, das heißt:

• Jeder Basisvektor hat die Norm eins:

  $\|b_i\| = \sqrt {\langle b_i, b_i \rangle} = 1$ für alle $i\in\{1,\ldots,n\}$.

• Die Basisvektoren sind paarweise orthogonal:

  $\langle b_i, b_j \rangle = 0$ für alle $i,j \in\{1,\ldots,n\}$ mit $i \neq j$.

Jeder endlichdimensionale Vektorraum mit Skalarprodukt besitzt eine Orthonormalbasis. Mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens lässt sich jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzen.

Beispiele

Die Orthonormalbasis ${\vec{i},\vec{j},\vec{k}}$ im $\mathbb{R}^3$ und ein mit ihr dargestellter Vektor $\vec{r} = 3\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}$

Beispiel 1

Die Standardbasis des $\R^3$, bestehend aus den Vektoren

$\vec i = \vec e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec j = \vec e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec k =\vec e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},$

ist eine Orthonormalbasis des dreidimensionalen euklidischen Vektorraums $\mathbb{R}^3$ (ausgestattet mit dem Standardskalarprodukt): Sie ist eine Basis des $\mathbb{R}^3$, jeder dieser Vektoren hat die Länge 1, und je zwei dieser Vektoren stehen senkrecht aufeinander, denn ihr Skalarprodukt ist 0.

Allgemeiner ist im Koordinatenraum $\R^n$ bzw. $\C^n$, versehen mit dem Standardskalarprodukt, die Standardbasis $\{e_1, \dots, e_n\}$ eine Orthonormalbasis.

Beispiel 2

Die Vektoren

$\vec b_1 = \begin{pmatrix} \tfrac 3 5 \\[1ex] \tfrac 4 5 \end{pmatrix}$   und   $\vec b_2 = \begin{pmatrix} -\tfrac {4} 5 \\[1ex] \tfrac 3 5 \end{pmatrix}$

bilden eine Orthonormalbasis des $\R^2$ mit dem Standardskalarprodukt.

Koordinatendarstellung bezüglich einer Orthonormalbasis

Vektoren

Ist $B = \{b_1, \dots, b_n\}$ eine Orthonormalbasis von V, so lassen sich die Komponenten eines Vektors $v \in V$ bezüglich dieser Basis besonders leicht berechnen. Hat v bezüglich der Basis B die Darstellung

$v = v_1 b_1 + \dots + v_n b_n = \sum_{i=1}^n v_i b_i,$

so gilt

$v_i = \langle b_i, v \rangle$ für $i = 1, \dots, n$

und damit

$v = \sum_{i=1}^n \langle b_i, v \rangle b_i.$

Im Beispiel 2 oben gilt für den Vektor $\vec v = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix}$:

$\langle \vec b_1, \vec v \rangle = \frac 35 \cdot 2 + \frac 45 \cdot 7 = \frac {34}5$   und

$\langle \vec b_2, \vec v \rangle = -\frac 45 \cdot 2 + \frac 35 \cdot 7 = \frac{13}5,$

und damit

$\vec v = \frac{34}5 \,\vec b_1 + \frac{13}5 \,\vec b_2 = \frac{34}5 \, \begin{pmatrix} \tfrac 3 5 \\[1ex] \tfrac 4 5 \end{pmatrix} + \frac{13}5 \, \begin{pmatrix} -\tfrac {4} 5 \\[1ex] \tfrac 3 5 \end{pmatrix}$

Das Skalarprodukt

In Koordinaten bezüglich einer Orthonormalbasis hat jedes Skalarprodukt die Form des Standardskalarprodukts. Genauer:

Ist $B = \{b_1, \dots, b_n\}$ eine Orthonormalbasis von V, und haben die Vektoren v und w bezüglich B die Koordinatendarstellung $v = v_1 b_1 + \dots + v_n b_n$ und $w = w_1 b_1 + \dots + w_n b_n$, so gilt

$\langle v, w \rangle = v_1 w_1 + \dots + v_n w_n$

im reellen Fall, bzw.

$\langle v, w \rangle = \bar v_1 w_1 + \dots + \bar v_n w_n$

im komplexen Fall.

Orthogonale Abbildungen

Ist $f \colon V \to V$ eine orthogonale (im reellen Fall) bzw. eine unitäre Abbildung (im komplexen Fall) und ist B eine Orthonormalbasis von V, so ist die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basis B eine orthogonale bzw. eine unitäre Matrix.

Bezüglich beliebiger Basen ist diese Aussage falsch.

Unendlichdimensionale Räume

Definition und erste Eigenschaften

Sei $(V, \langle.,.\rangle)$ ein Prähilbertraum und sei $\|\cdot \| = \sqrt{\langle.,.\rangle}$ die durch das Skalarprodukt induzierte Norm. Eine Teilmenge $S \subset V$ heißt Orthonormalsystem, falls $\|e\| = 1$ und $\langle e , f \rangle = 0$ für alle $e , f \in S$ mit $e \neq f$ gilt.

Ist $(V, \langle.,.\rangle)$ zusätzlich vollständig also ein Hilbertraum, dann heißt ein Orthonormalsystem S Orthonormalbasis, falls für alle Orthonormalsysteme T mit $S \subset T$ sofort T = S folgt. Eine Orthonormalbasis wird auch vollständiges Orthonormalsystem genannt.

Es ist zu beachten, dass im Sinne dieses Abschnitts, im Gegensatz zur endlichen Dimension, eine Orthonormalbasis keine Hammelbasis also keine Basis im Sinn der linearen Algebra ist. Das heißt ein Element aus V lässt sich im Allgemeinen nicht als Linearkombination aus endlich vielen Elementen aus S darstellen, sondern nur mit abzählbar unendlich vielen, also als Reihe. Mit anderen Worten: Die lineare Hülle ist nicht gleich V, liegt aber dicht in V. Jeder Vektorraum besitzt eine Hamelbasis, die aber in vielen Fällen nicht explizit bekannt ist und somit von keinem praktischen Nutzen ist.

Existenz und Charakterisierung

Allgemein gelten für Innenprodukträume (Prähilbertäume) und vollständige Innenprodukträume (Hilberträume) folgende Sätze:

• Die lineare Hülle der Orthonormalbasis S liegt dicht in V. Das heißt es gilt $\overline{\operatorname{span}(S)} = V$.
• In einem Innenproduktraum V ist ein Orthonormalsystem B genau dann eine Orthonormalbasis, wenn die parsevalsche Gleichung

$\|x\|^2=\sum_{v\in B}|\langle x,v\rangle|^2$ für alle $x \in V$ erfüllt ist.

• Jeder (vom Nullraum verschiedene) separable Innenproduktraum besitzt eine Orthonormalbasis, die von höchstens abzählbarer Mächtigkeit ist.
• In einem Hilbertraum V ist ein Orthonormalsystem S genau dann eine Orthonormalbasis, wenn es maximal ist, das heißt wenn es außer dem Nullvektor keinen Vektor gibt, der zu allen Vektoren aus S orthogonal ist.
• Jeder (vom Nullraum verschiedene) Innenproduktraum besitzt maximale Orthonormalsysteme und, wenn er ein Hilbertraum ist, somit auch Orthonormalbasen.
• Ein (vom Nullraum verschiedener) Hilbertraum besitzt genau dann eine abzählbare Orthonormalbasis, wenn er separabel ist.

Insbesondere besitzt also jeder separable und jeder vollständige Innenproduktraum eine Orthonormalbasis.

Verallgemeinerte Fourier-Reihe

→ Hauptartikel: Parsevalsche Gleichung

Ein Hilbertraum $(H, \langle.,.\rangle_H)$ mit einer Orthonormalbasis S hat die Eigenschaft, dass es für jedes $v \in H$ die Reihendarstellung

$v=\sum_{u \in S} \langle u, v \rangle_H u$

gibt. Diese Reihe konvergiert unbedingt. Ist der Hilbertraum endlichdimensional so fällt der Begriffe der unbedingten Konvergenz mit dem der absoluten Konvergenz zusammen. Diese Reihe nennt man auch (verallgemeinerte) Fourier-Reihe. Wählt man nämlich den Hilbertraum L²([0,π]) der quadratintegrierbaren Funktionen, dann ist

$S = \left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \operatorname{Id} \right\} \cup \left\{\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(n \cdot), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(n \cdot) \right\}\colon n \in \N$

ein Orthonormalsystem und sogar eine Orthonormalbasis von L²([0,π]). Bezüglich dieser Basis sind

$\left\langle f, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(n \cdot ) \right\rangle_{L^2([0,\pi])} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^{2 \pi} f(x) \cos(n x) \mathrm{d} x$

und

$\left\langle f, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(n \cdot ) \right\rangle_{L^2([0,\pi])} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^{2 \pi} f(x) \sin(n x) \mathrm{d} x$

gerade die Fourier-Koeffizienten der Fourier-Reihe von f. Daher ist die Fourier-Reihe gerade die Reihendarstellung eines Elements aus L²([0,π]) bezüglich der gegebenen Orthonormalbasis.

Weitere Beispiele

Sei $\ell^2$ der Folgenraum der quadratsummierbaren Folgen. Die Menge $S = \{e_n \colon n \in \N\}$ ist eine Orthonormalbasis von $\ell^2$.

Quellen

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seiten 222 - 236.