Tautochrone

Experiment: Welche Bahn ist die schnellste? (Ausstellung Elementa im Landesmuseum für Technik und Arbeit, Mannheim)

Brachistochrone

Die Brachistochrone (gr. brachistos kürzeste, chronos Zeit) ist die schnellste Verbindung zweier Punkte durch eine Bahn, auf der ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitationskraft reibungsfrei hinabgleitet. Auf der Brachistochrone-Bahn rollt eine Kugel somit schneller ans Ziel als beispielsweise auf einer Geraden zwischen dem Start- und Zielpunkt liegenden geraden Bahn, obwohl diese kürzer ist. Dabei liegt ein Punkt tiefer als der andere, aber nicht senkrecht unter dem anderen. Der Tiefpunkt der Brachistochrone-Bahn kann tiefer liegen als beide Punkte.

Gleichzeitig ist diese Kurve eine Tautochrone, d. h. von jedem Punkt der Kurve benötigt man die gleiche Zeit, um zum Tiefpunkt zu gelangen. Dieser Sachverhalt wird beim sogenannten Zykloidenpendel ausgenutzt, bei dem die Pendelmasse auf einer Tautochrone schwingt.

Form

Das Spiegelbild der Brachistochrone bezüglich der x-Achse ist eine Zykloide.

Geschichte

Johann Bernoulli hat sich mit dem Problem des schnellsten Falles beschäftigt. Im Jahre 1696 fand er schließlich die Lösung in der Brachistochrone. Heute sieht man dies oft als die Geburtsstunde der Variationsrechnung.

Christiaan Huygens veröffentlichte 1673 in seiner Abhandlung Horologium Oscillatorium eine ganggenaue Pendeluhr mit einem Zykloidenpendel, bei dem er sich die Tatsache zunutze machte, dass die Evolute der Zykloide selber wieder eine Zykloide ist. Der Vorteil der Ganggenauigkeit wird jedoch durch die erhöhte Reibung wettgemacht.

Funktion

Die Brachistochrone lässt sich bequem in einer Parameterdarstellung beschreiben, das heißt, man kann ihre Punkte als Ortsvektor darstellen, der sich mit einem Parameter ändert. Als Funktion des Winkels $\varphi$ (im Bogenmaß), um den sich das Rad mit Radius R beim Abrollen gedreht hat, sind die x- und y-Koordinaten:

$x = R \cdot (\varphi - \sin\varphi)\,,$

$y = R \cdot (-1 +\cos\varphi )\,.$

Hilfreich für das Verstehen dieser Kurve ist: Der Radius mal dem Winkel „Berührungspunkt des Kreises-Kreismittelpunkt-Brachistochronenpunkt“ ist die bereits abgerollte Strecke.

Herleitung

Betrachten wir in der x-y-Ebene eine Kurve y(x), längs welcher der Massepunkt vom Start (x,y) = (0,0) mit fortlaufender Zeit t zum Ziel $(\overline{x},\overline{y})$ gleite.

Er hat die kinetische Energie

$E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \, m \, \left(\left(\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\,\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}\right)^2 \right) = \frac{1}{2} \, m \, \left(\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}\right)^2 \left(1 + \left(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\right)^2 \right)$

und die potentielle Energie

$E_{\text{pot}}=m\,g\,y(x)\,.$

Dabei ist y die Höhe im Gravitationsfeld und g die Schwerebeschleunigung.

Gleitet der anfänglich ruhende Massepunkt vom Ursprung los, so ist längs seiner Bahn die Gesamtenergie erhalten und hat den anfänglichen Wert Null,

$0 = \frac{1}{2} \, m \, \left(\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}\right)^2 \left(1 + \left(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\right)^2 \right) + m \, g \, y(x)\,.$

Dies kann nach $\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}$ aufgelöst werden. Die Ableitung der Umkehrfunktion, t(x), die angibt, wie spät es ist, wenn das Teilchen den Ort (x,y(x)) durchläuft, ist hierzu invers

$\frac{\mathrm d t}{\mathrm d x}=\sqrt{\frac{1+(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x})^2}{-2\,g\,y}}\,.$

Integrieren wir über den x-Bereich von 0 bis $\overline{x}$, so ergibt sich die zu minimierende Laufzeit T als Funktional der Bahnkurve y(x)

$T[y]=\frac{1}{\sqrt{2\,g}}\int_0^{\overline{x}}\mathrm d x\,\sqrt{\frac{1+(\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x})^2}{-y}}\,.$

Um an die bei physikalischen Variationsproblemen üblichen Bezeichnungen anzuschließen, nennen wir die Integrationsvariable $t\,,$ bezeichnen − y mit r und minimieren einfachheitshalber das mit $\sqrt{2\,g}$ multiplizierte Funktional. Wir minimieren also die Wirkung

$W[r]=\int\mathrm d t\,\sqrt{\frac{1+(\frac{\mathrm d r}{\mathrm d t})^2}{r}}\,.$

mit Lagrangefunktion

$\mathcal{L}(t,r,v) =\sqrt{\frac{1+v^2}{r}}\,.$

Da die Lagrangefunktion nicht vom Integrationsparameter, der Zeit t abhängt, ist die nach dem Noether-Theorem zugehörige Energie

$v\partial_v\mathcal{L}-\mathcal{L}=-\frac{1}{\sqrt{r(1+v^2)}}$

auf der Bahn r(t) erhalten, für die W[r] minimal wird.

Die Funktion r(t) erfüllt also mit einer positiven Konstanten R die Gleichung

$\left(1 + \left(\frac{\mathrm d r}{\mathrm d t}\right)^2\right)\,r = 2\,R$ oder $\left(\frac{\mathrm d r}{\mathrm d t}\right)^2 - \frac{2\,R}{r} = -1$

wie ein Teilchen, das im Keplerpotential $\propto -1/r$ senkrecht aus der Gipfelhöhe $2\,R$ fällt.

Statt diese Gleichung mit getrennten Veränderlichen nach $\tfrac{\mathrm d r}{\mathrm d t}$ aufzulösen und zu integrieren, bestätigt man einfach, dass

$t(\varphi) = R\,(\varphi-\sin\varphi)\,,\ r(\varphi)=R\,(1-\cos\varphi)$

eine parametrische Lösung dieser Gleichung ist, wobei man

$\frac{\mathrm d r}{\mathrm d t}=\frac{\frac{\mathrm d r}{\mathrm d \varphi}} {\frac{\mathrm d t}{\mathrm d \varphi}}=\frac{-\sin\varphi}{1-\cos\varphi}$

ausnutzt.

Also ist die gesuchte Bahn (x,y(x)) parametrisch gegeben durch

$\begin{pmatrix} x(\varphi)\\y(\varphi) \end{pmatrix} =R\, \begin{pmatrix} \varphi-\sin\varphi\\ \cos\varphi -1 \end{pmatrix}= R\, \begin{pmatrix} \varphi\\ -1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin\varphi\\ \sin\varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ R \end{pmatrix}\,.$

Dabei wird an der letzten Zerlegung deutlich, dass die Bahn y(x) sich aus den Ortsvektoren $R\,(\varphi,-1)$ der Nabe eines Rades mit Radius R zusammensetzt, das unter der x-Achse rollt plus dem Speichenvektor, der anfänglich nach oben zeigt und mit dem Winkel $\varphi$ gedreht wird. Die Kurve ist die Bahn eines Randpunktes eines rollenden Rades.

Weblinks

• Artikel zur Geschichte des Brachistochronenproblems
• http://home.imm.uran.ru/iagsoft/brach/BrachJ2.html
• Brachistochrone im MacTutor History of Mathematics archive (englisch)
• Java-Animation zur Zykloide