Schwerebeschleunigung

Unter der Schwerebeschleunigung (auch: Fallbeschleunigung oder Ortsfaktor) versteht man die aus der Gravitationsbeschleunigung und der Zentrifugalbeschleunigung resultierende Beschleunigung einer Probemasse. Diese Beschleunigung erfährt ein Körper zum Beispiel beim freien Fall auf der Oberfläche eines Planeten. Die Gewichtskraft eines Körpers ist proportional zur Schwerebeschleunigung an dem Ort, an dem der Körper sich befindet. Der Proportionalitätsfaktor ist die Masse des Körpers.

Einheiten

Die SI-Einheit der Schwerebeschleunigung ist $\frac {\mathrm{m}} {\mathrm{s}^2}$.

Im alten CGS-Einheitensystem heißt die Einheit Gal (nach Galileo Galilei), das in der Gravimetrie und Angewandten Geophysik oft in 1 000 Milligal unterteilt wird:

$1 \mathrm{mGal} = 10^{-5}\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

In der Astrophysik wird die Oberflächenschwerkraft häufig logarithmisch als log g ausgedrückt. Diese ist durch die Schwerkraft in CGS-Einheiten, also in cm/s², definiert, von deren Betrag dann der Logarithmus mit der Basis 10 berechnet wird. Es ist also eine Zahlenwertdarstellung. Beispiel: Bei Proxima Centauri beträgt log g = 10^5,20, entsprechend etwa 158000 cm/s² bzw. 1580 m/s². Wird der Wert durch 9,81 m/s² (den Wert auf der Erde) dividiert, so kommt man auf etwa die 162-fache Schwerkraft der Erde.

Berechnung

Im Gravitationsfeld eines Himmelskörpers erfährt ein Körper unabhängig von seiner Masse m die Gravitationsbeschleunigung $\vec g$.

Die Schwerebeschleunigung setzt sich aus der Gravitationsbeschleunigung und der Zentrifugalbeschleunigung zusammen.

$\vec g_\text{Schwere} = \vec g_\text{Gravitation} + \vec g_\text{Zentrifugal}$

Am Äquator sind Gravitationsbeschleunigung und Zentrifugalbeschleunigung genau entgegengesetzt.

g_Schwere = g_Gravitation − g_Zentrifugal

Am Pol wirkt keine Zentrifugalbeschleunigung, da der Abstand von der Rotationsachse null ist.

g_Schwere = g_Gravitation

Die Gravitationsbeschleunigung im Abstand r vom Zentrum eines radialsymmetrischen Himmelskörpers lässt sich mit Hilfe der Gravitationskonstante G und der Masse des Himmelskörpers M aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz berechnen.

$g_\text{Gravitation} = \frac{G M}{r^2}$ mit $G=6{,}67428 \cdot 10^{-11}\,\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{kg \; s^2}}$

Die Zentrifugalbeschleunigung lässt sich aus Umlaufdauer T und Abstand r berechnen.

g_Zentrifugal = ω²r mit $\omega = \frac{2 \pi}{T}$

Beispiel Erde

→ Hauptartikel: Erdbeschleunigung

Die Erde rotiert um ihre eigene Achse. Das ist neben anderen Ursachen ein Grund dafür, dass ihre Gestalt nicht genau kugelförmig ist. Der Abstand zwischen den Polen ist etwas geringer als der Durchmesser am Äquator. Deshalb ist bei gleicher Höhe über der Erdoberfläche die Schwerebeschleunigung am Äquator etwas kleiner als an den Polen. Durch die Zentrifugalbeschleunigung, die an den Polen gleich Null und am Äquator am größten ist, wird die Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfläche weiter verkleinert. Insgesamt ist sie am Äquator um etwa ein halbes Prozent kleiner als an den Polen. Eine Berechnung mit Hilfe der Formel von Somigliana ergibt:

• $9{,}83219\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ an den Polen.
• $9{,}80620\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ auf dem 45. Breitengrad.
• $9{,}78033\;\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ am Äquator.

Messung

Die Schwerebeschleunigung kann mit Gravimetern auf µGal genau gemessen werden.

Die Methode des Pendelgravimeters beruht auf der Messung der Schwingungsdauer T eines Fadenpendels mit der Fadenlänge L. Wenn die Ausschläge des Pendels klein sind, dann gilt:

$g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$

Zusammenhang mit der Gewichtskraft

→ Hauptartikel: Gewichtskraft

Während die Gravitationsbeschleunigung eines Körpers unabhängig von seiner Masse m ist, ist die Gewichtskraft $\vec F_\mathrm{G}$ proportional zur Masse m und durch die Beziehung

$\vec F_\mathrm{G} = m \, \vec g_\text{Schwere}$

gegeben.

Schwere- und Gravitationsbeschleunigung ausgewählter Himmelskörper

In der folgenden Tabelle sind die Schwere-, die Zentrifugal- und die Gravitationsbeschleunigung von verschiedenen Himmelskörpern unseres Planetensystems zusammengestellt. Die Zahlen sind für die Oberfläche des Himmelskörpers am Äquator in m/s² angegeben.

Himmelskörper	Gravitationsbeschleunigung[1]	Schwerebeschleunigung[1]	Zentrifugalbeschleunigung[2]
Merkur	03,70	03,70	0,0
Venus	08,87	08,87	0,0
Erde	09,798	09,780	0,0339
Mond	01,62	01,62	0,0
Mars	03,71	03,69	0,0171
Jupiter	24,79	23,12	2,21
Saturn	10,44	08,96	1,67
Uranus	08,87	08,69	0,26
Neptun	11,15	11,00	0,29

Siehe auch

• Atwoodsche Fallmaschine, Fallschnur
• Normalschwereformel
• Schweregradient
• GRACE, ein Projekt zur genauen Bestimmung des Erdschwerefeldes in einer niedrigen Umlaufbahn

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} David R. Williams: Planetary Fact Sheet - Metric. NASA, 29. November 2007, abgerufen am 4. August 2008 (englisch, inkl. Unterseiten). 
2. ↑ Deutschschweizerische Mathematikkommission (DMK) und Deutschschweizerische Physikkommission (DPK) (Hrsg.): Formeln und Tafeln. 11. Auflage. Orell Füssli Verlag AG, Zürich 2006, ISBN 978-3-280-02162-0, S. 188.