Terminale Sigma-Algebra

Als terminale σ-Algebra wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine spezielle σ-Algebra bezeichnet, die für eine Folge von σ-Algebren $(\mathcal A_n)_{n \in \mathbb N}$ wie folgt definiert ist:

Für jedes $n \in \mathbb N$ sei zunächst

$\mathcal T_n := \sigma(\bigcup_{k=n}^{\infty} \mathcal A_k)$

die von allen σ-Algebren mit Index oberhalb von n erzeugte σ-Algebra. Als terminale σ-Algebra $\mathcal T_{\infty}$ wird dann der Schnitt über all diese σ-Algebren bezeichnet, also

$\mathcal T_{\infty} := \bigcap_{n=1}^{\infty} \mathcal T_n$.

Anschaulich liegen all jene Ereignisse in der terminalen σ-Algebra, die „immer wieder“ in der Folge der σ-Algebren auftauchen, also nicht bloß von endlich vielen „ersten“ σ-Algebren abhängen.

Eine wichtige Eigenschaft von Elementen der terminalen σ-Algebra ergibt sich für den Fall, dass die Folge der σ-Algebren $(\mathcal A_n)_n$ in einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal A, P)$ mit $\mathcal A_n \subset \mathcal A$ stochastisch unabhängig ist. Dann gilt nach dem Null-Eins-Gesetz von Kolmogorow, dass die Wahrscheinlichkeit $P(A)\;$ für jedes $A \in \mathcal T_{\infty}$ immer entweder 0 oder 1 ist.

Literatur

• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. De Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3110172364.