Thermische Wellenlänge

Thermische Wellenlänge

Die thermische Wellenlänge ist ein Begriff aus der statistischen Physik und der Quantenmechanik. Sie ist eine statistische Größe und beschreibt die mittlere De-Broglie-Wellenlänge eines Teilchens zu einer bestimmten Temperatur. Die thermische Wellenlänge charakterisiert die räumliche „Ausdehnung“ eines Teilchens und stellt das Bindeglied zwischen klassischer und Quantenstatistik dar.

Definition

Ideales Gas

Einem Teilchen kann nach dem Welle-Teilchen-Dualismus eine Wellenlänge von λ = h / p zugeordnet werden. Bei einem Idealen Gas wird eine Energie von E = πkBT angenommen. Der Faktor π stammt aus der Zustandssumme, er erscheint dort in gleicher Potenz wie kBT und wird deswegen als Energievorfaktor übernommen. Es ergibt sich eine Wellenlänge von

\lambda=\frac{h}{\sqrt{2\pi mk_\mathrm{B}T}}=\frac{2\pi\hbar}{\sqrt{2\pi mk_\mathrm{B}T}}.

Diese Wellenlänge heißt thermische Wellenlänge, da man die Energie kBT auch als thermische Energie bezeichnet. Zur „Motivation“ dieser Definition betrachtet man den Wellenvektor. In einem statistischen Ensemble ist der Wellenvektor durch

k=\frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}p\;\exp\left(-\beta\,\frac{p^{2}}{2m}\right)=\frac{1}{\hbar}\sqrt{\frac{2m\pi}{\beta}}=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2m\pi k_{\mathrm{B}}T}

mit β: = (kBT) − 1 gegeben. Für den Betrag des Wellenvektors k gilt: k = 2π / λ.

Bedeutung

Die thermische Wellenlänge stellt ein einfaches Mittel zur Abschätzung der Quantennatur eines Systems dar. Quanteneffekte fangen an eine Rolle zu spielen, wenn die thermische Wellenlänge mit anderen charakteristischen Längen des Systems – wie der mittleren freien Weglänge der Teilchen oder dem Systemvolumen – vergleichbar werden. Im Falle eines scharfen Phasenübergangs zwischen klassischem und Quantensystem nennt man die Temperatur am Übergang auch Sprungtemperatur.

Wie man aus obiger Definition unmittelbar ablesen kann, nimmt die Wellenlänge bei sinkender Temperatur zu. Die mittlere freie Weglänge nimmt bei steigendem Druck ab. Folglich verhält sich ein Gas bei tiefen Temperaturen oder hohen Drücken nicht mehr klassisch. Aus derartigen Überlegungen folgert man beispielsweise, dass weiße Zwerge aufgrund der extrem hohen Drücke im Innern durch Quanteneffekte stabilisiert werden.

Bose-Einstein-Kondensate können entstehen, wenn die thermische Wellenlänge in dem Bereich des Abstands zweier Atome liegt. Daher müssen zur Erzeugung solcher Kondensate die Materialien auf extrem niedrige Temperaturen gebracht werden.


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