Tisserandkriterium

Der Tisserandparameter stellt eine Näherung des Jacobi-Integrals dar und ist näherungsweise eine Erhaltungsgröße des zirkular vereinfachten Dreikörperproblems. Er findet Anwendung in Astronomie und Raumfahrt.

Definition

Der Tisserandparameter T_P eines kleinen Körpers (i. d. R. ein Asteroid oder Komet) in Bezug auf einen Planeten P wird definiert durch

$T_P=\frac{a_P}{a}+2\cos i\sqrt{\frac{a}{a_P}(1-e^2)}$

wobei a und e die große Halbachse und die Exzentrizität des kleinen Körpers, i die Inklination der Bahn des kleinen Körpers relativ zur Planetenbahn und a_P die große Halbachse des Planeten sind.

Der Tisserandparameter wird meist in Relation zum Jupiter angegeben, da die Wechselwirkung mit Jupiter den größten Einfluss auf die Bahnen der kleineren Körper des Sonnensystems ausübt. Für Objekte jenseits der Jupiterbahn wird der Tisserand jedoch auch in Bezug auf Saturn, Uranus und Neptun berechnet.

Die Voraussetzung, das „zirkular vereinfachte Dreikörperproblem“, bedeutet im Einzelnen:

1. die Masse des kleinen Körpers ist gegenüber der Masse des Planeten (und der Sonne) vernachlässigbar – die Näherung für das Jacobi-Integral gilt nur dann, wenn die Masse des Planeten gegenüber der Sonne klein ist
2. die Bahn des Planeten ist kreisförmig
3. die Bahn des kleinen Körpers wird ausschließlich durch die Sonne und den betrachteten Planeten beeinflusst, d. h. weder andere Körper noch nichtgravitative Einflüsse stören die Bahn.

Während die erste Annahme in der praktischen Anwendung durchaus gerechtfertigt ist stellen die beiden anderen doch sehr starke Idealisierungen dar.

Geschichte

Durch die Wechselwirkung mit Jupiter ändern sich die Bahnelemente eines Kometes zum Teil sehr stark, so dass mitunter erst nach umfangreichen iterativen Bahnberechnungen entschieden werden kann, ob es sich bei zwei Kometenbeobachtungen um den gleichen Kometen oder um zwei verschiedene Kometen handelt. Der französische Astronom François Félix Tisserand veröffentlichte 1896 ein einfaches Kriterium, um die Bahnen von Kometen miteinander zu vergleichen: durch das Tisserandkriterium – die Tisserandparameter für beide Beobachtungen müssen annähernd übereinstimmen – kann man sehr einfach entscheiden, ob es sich überhaupt um den gleichen Kometen handeln könnte, und kann deshalb in vielen Fällen auf die aufwändigen (händischen) Berechnungen verzichten. Durch den Einsatz von leistungsstarken Rechnern hat das Tisserandkriterium jedoch in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts stark an Bedeutung verloren.

Heutige Bedeutung

Die heutige Bedeutung des Tisserandparameters liegt vor allem in einer einfachen Klassifikation der Körper des Sonnensystems. So weisen die meisten Asteroiden ein T_J (Tisserandparameter in Bezug auf Jupiter) von mehr als 3 auf, während T_J für die Kometen der Jupiter-Familie zwischen 2 und 3 liegt – es gibt jedoch auch Ausnahmen von dieser „Regel“. Dies ist allerdings nicht verwunderlich, da die Unterscheidung zwischen Kometen und Asteroiden aufgrund fehlender Aktivität ersterer in den äußeren Bereichen des Sonnensystems nicht einfach ist. So wurde bei einigen ursprünglich als Asteroiden eingestuften Objekten später eine Koma festgestellt (z. B. bei Chiron) – andere Asteroiden (Damocloiden) bewegen sich auf typischen Kometenbahnen, zeigen jedoch keinerlei Aktivität.

Anwendung in der Raumfahrt

Bei der Planung eines Gravity-Assist-Manövers spielt die Erhaltung des Tisserandparameters eine entscheidende Rolle. Da die möglichen Bahnen nach dem Flyby durch den Tisserandparameter sehr stark einschränkt sind, nimmt man ihn als Basis für die Wahl einer passenden Zielbahn. Hat man diese gefunden, führt dies wiederum direkt zur benötigten Geschwindigkeit und den Abstand für das Flyby-Manöver.