Exzentrizität (Mathematik)

Die Exzentrizität ist ein Maß für die Abweichung eines Kegelschnittes von der Kreisform.

• Die lineare Exzentrizität oder Brennweite ist ein Längenmaß.
• Die numerische Exzentrizität ist eine dimensionslose Größe.

Neben allgemeinen Problemen der Geometrie spielen die Werte insbesondere in der Optik und der Astronomie eine besondere Rolle

Siehe auch: Exzentrizität (Astronomie)

Die lineare Exzentrizität e

Im Zähler der numerischen Exzentrizität steht e, die lineare Exzentrizität. Sie ist ein Maß für die optische Brennweite des Kegelschnitts (+ für die Hyperbel, − für die Ellipse):

$e = \sqrt{a^2 \pm b^2}$

Hierbei bezeichnet a die Länge der großen Halbachse und b die Länge der kleinen Halbachse (vgl. Zeichnung). Im Falle der Parabel ist b = 0 und e = a, im Falle des Kreises ist a = b und e = 0.

Die numerische Exzentrizität ε

Ellipse mit Beschriftung und Brennlinien.
Zu den anderen in der Grafik verwendeten Bezeichnungen siehe Ellipse.

Die numerische Exzentrizität eines Kreises ist 0, die einer Ellipse zwischen 0 und kleiner als 1, die einer Parabel 1 und die einer Hyperbel größer als 1.

Im Fall einer Ellipse steht a für die große und b für die kleine Halbachse, im Fall einer Hyperbel für die entsprechenden imaginären Halbachsen.

Die Formel zur Berechnung der numerischen Exzentrizität ist:

$\varepsilon = \frac{e}{a}$

Mit $a^2 \pm b^2 = e^2$ (+ für die Hyperbel, − für die Ellipse) ergibt sich:

$\varepsilon = \frac{\sqrt{a^2 \pm b^2}}{a} = \sqrt{1 \pm \left( {b\over a} \right) ^2}$