Todd-Klasse

Die Todd-Klasse ist eine Konstruktion aus der algebraischen Topologie der charakteristischen Klassen. Die Todd-Klasse eines Vektorbündels kann mit der Theorie der Chernklassen erklärt werden und existiert dort, wo diese existieren, besonders in der Differentialtopologie, der Theorie komplexer Mannigfaltigkeiten und in der algebraischen Geometrie. Grob gesagt wirkt sie wie eine reziproke Chern-Klasse bzw. steht zu ihr in Beziehung wie ein normales zu einem ko-normalen Bündel. Die Todd-Klasse spielt eine fundamentale Rolle in der Verallgemeinerung des Satzes von Riemann-Roch auf höhere Dimensionen, im Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch oder Satz von Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch.

Sie wird nach dem englischen Mathematiker John Arthur Todd benannt, der einen Spezialfall 1937 in die algebraische Geometrie einführte, vor der Definition der Chern-Klassen. Die geometrische Idee wird manchmal auch Todd-Eger-Klasse genannt, die allgemeine Definition in höheren Dimensionen stammt von Friedrich Hirzebruch (in seinem Buch Topologische Methoden der algebraischen Geometrie).

Um die Todd-Klasse td(E) zu einem komplexen Vektorbündel E auf einem topologischen Raum X zu definieren, ist es meist möglich sich auf eine Whitney-Summe (das heißt direkte Summe) von Geradenbündeln zu beschränken unter Verwendung einer allgemeinen Methode aus der Theorie charakteristischer Klassen, den Chern-Wurzeln. Man betrachte

$Q(x)=\frac{x}{1-e^{-x}}$

als formale Potenzreihe (in der expliziten Entwicklung tauchen Bernoullizahlen auf). Falls E die α_i als Chern-Wurzeln hat, ist

$\,td(E)=\Pi Q(\alpha_i)$,

was im Kohomologiering von X berechnet wird (oder in seiner Vervollständigung falls man unendlich dimensionale Mannigfaltigkeiten betrachtet).

Die explizite Form der Todd Klasse als formale Potenzreihe in den Chernklassen ist:

$td(E)=1+c_1 \cdot \tfrac{1}{2} + (c_1^2 + c_2)\cdot \tfrac{1}{12} + c_1 c_2 \cdot \tfrac{1}{24}+ ...$

wobei die Kohomologieklassen c_i die Chern-Klassen von E sind und in der Kohomologiegruppe H²ⁱ(X) liegen. Wenn X endlich dimensional ist verschwinden die meisten Terme und td(E) ist ein Polynom in den Chern-Klassen.

Literatur

• J. Todd: The arithmetical theory of algebraic loci. In: Proceedings of the London Mathematical Society. 43, 1937, S. 190–225.
• Friedrich Hirzebruch Topological methods in algebraic geometry. 2nd corrected printing of the 3rd edition. Springer, Berlin u. a. 1978, ISBN 3-540-03525-7 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 131).