Charakteristische Klasse

Unter einer Charakteristischen Klasse versteht man in der Mathematik eine Methode, einem Vektorbündel über einem Raum X eine Kohomologieklasse zuzuordnen. Eine charakteristische Klasse beschreibt mehr oder weniger die "Verdrehtheit" eines Bündels, so entspricht die charakteristische Klasse eines trivialen Bündels meistens $1 \in H^0 (X; R)$.

Definition

Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Ist $\pi : E \to X$ ein Vektorbündel mit Faser $V \simeq k^n$ und BG die Grassmann-Mannigfaltigkeit $G_n (k^\infty)$, so lässt sich eine bis auf Homotopie eindeutige Abbildung $f: X \to BG$ definieren, die durch eine Bündelabbildung $F: E \to \gamma^n$ in das tautologische Bündel über BG überlagert wird. Zu jeder Kohomologieklasse $c \in H^* (BG;R)$ ist die charakteristische Klasse c(E) definiert durch

$c(E) := f^* (c) \in H^* (X;R)$.

Beispiele

• Stiefel-Whitney-Klassen von reellen Vektorbündeln
• Euler-Klasse von orientierten Vektorbündeln
• Chernklasse von komplexen Vektorbündeln
• Pontrjagin-Klasse von reellen Vektorbündeln

Literatur

• Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.