Transitivitätssatz der Implikation

Zwei transitive und eine nicht transitive Relation, als gerichtete Graphen dargestellt

Die Transitivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y und y R z stets x R z folgt. Man nennt R dann transitiv.

Die Transitivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation.

Formale Definition

Ist $M$ eine Menge und $R \subseteq M \times M$ eine zweistellige Relation auf $M$ , dann heißt $R$ transitiv, wenn (unter Verwendung der Infixnotation) gilt:

$\forall x, y, z \in M: xRy \and yRz \Rightarrow xRz$

Beispiele

Ordnung der reellen Zahlen

Die Kleiner-Relation $&amp;lt;\$ auf den reellen Zahlen ist transitiv, denn aus $x < y$ und $y < z$ folgt $x < z$ . Sie ist darüber hinaus eine strenge Totalordnung.

Ebenso sind die Relationen $&amp;gt;\$ , $\le\$ und $\ge \$ transitiv.

Gleichheit der reellen Zahlen

Die gewöhnliche Gleichheit $=\$ auf den reellen Zahlen ist transitiv, denn aus $x = y$ und $y = z$ folgt $x = z$ . Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

Die Ungleichheitsrelation $\neq$ auf den reellen Zahlen ist hingegen nicht transitiv: $3\neq 5$ und $5\neq 3$ , aber $3\neq 3$ gilt natürlich nicht.

Teilbarkeit der ganzen Zahlen

Die Teilbarkeitsrelation | für ganze Zahlen ist transitiv, denn aus a | b und b | c folgt a | c. Sie ist darüber hinaus eine Quasiordnung. Bei der Einschränkung auf die Menge der natürlichen Zahlen erhält man eine Halbordnung.

Nicht transitiv ist zum Beispiel die Teilerfremdheit. So sind 12 und 5 teilerfremd, ebenso 5 und 9, jedoch haben 12 und 9 den gemeinsamen Teiler 3.

Teilmenge

Die Teilmengenbeziehung $\subseteq$ zwischen Mengen ist transitiv, denn aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$ folgt $A\subseteq C$ . Darüber hinaus ist $\subseteq$ eine Halbordnung.

Nicht transitiv ist zum Beispiel die Disjunktheit von Mengen. So sind die Mengen ${1,2}$ und ${3}$ disjunkt, ebenso ${3}$ und ${1,4}$ , nicht aber ${1,2}$ und ${1,4}$ (da sie das Element 1 gemeinsam haben).

Parallele Geraden

In der Geometrie ist die Parallelität von Geraden transitiv: Sind sowohl die Geraden $g 1$ und $g 2$ parallel als auch die Geraden $g 2$ und $g 3$ , dann sind auch $g 1$ und $g 3$ parallel. Darüber hinaus ist die Parallelität eine Äquivalenzrelation.

Implikation in der Logik

In der Logik gilt die Transitivität bezüglich der Implikation, wobei dies in der Prädikatenlogik auch als Modus barbara bekannt ist:

Aus $A \Rightarrow B$ und $B \Rightarrow C$ folgt $A \Rightarrow C$ (vergleiche auch: Schnittregel).

Die Implikation definiert eine Quasiordnung auf den Formeln der jeweils betrachteten Logik.

Darstellung als gerichteter Graph

Jede beliebige Relation R auf einer Menge M kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von M. Vom Knoten a zum Knoten b wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil $a \longrightarrow b$ ) gezogen, wenn a R b gilt.

Die Transitivität von R lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Wann immer zwei Pfeile aufeinanderfolgen ( $a \longrightarrow b \longrightarrow c$ ), gibt es auch einen Pfeil, der Anfangs- und Endknoten direkt verbindet ( $a \longrightarrow c$ ).

Eigenschaften

Die Transitivität einer Relation R erlaubt auch Schlüsse über mehrere Schritte hinweg (wie man leicht durch vollständige Induktion zeigt):

$a \,R \,b_1 \,R \,b_2 \,R \,\dots \,R \,b_n \,R \,c \implies a \,R \,c$
Mit Hilfe der Verkettung $\circ$ von Relationen lässt sich die Transitivität auch durch die folgende Bedingung charakterisieren:

$R \circ R \subseteq R$
Ist die Relation $R$ transitiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation $R - 1$ . Beispiele: die zu $\le$ konverse Relation ist $\ge$ , die zu $&amp;lt;\$ konverse ist $&amp;gt;\$ .
Sind die Relationen $R$ und $S$ transitiv, dann gilt dies auch für ihre Schnittmenge $R \cap S$ . Diese Aussage lässt sich von zwei Relationen auf den Durchschnitt $\cap_{i\in I} R_i$ einer beliebigen Familie von transitiven Relationen verallgemeinern.
Zu jeder beliebigen Relation $R$ gibt es eine kleinste transitive Relation $S$ , die $R$ enthält, die sogenannte transitive Hülle von $R$ .
Beispiel: $R$ sei die Vorgängerrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen, es gelte also $a \,R \,b : \Longleftrightarrow a = b - 1$ . Die Relation $R$ selbst ist nicht transitiv. Als transitive Hülle von $R$ ergibt sich die Kleiner-Relation $&amp;lt;\$ .