- Trennung der Variablen
-
Die Methode der Trennung der Veränderlichen (auch Trennung der Variablen, Separationsmethode oder Separation der Variablen) ist ein Verfahren aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen um Differentialgleichungen erster Ordnung der Gestalt
zu lösen.
Der Begriff „Trennung der Veränderlichen“ geht auf Johann Bernoulli zurück, der ihn 1694 in einem Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz verwendete.[1]
Inhaltsverzeichnis
Lösung des Anfangswertproblems
Wir untersuchen das Anfangswertproblem
für stetige (reelle) Funktionen f und g. Falls f(y0) = 0, so wird dieses Anfangswertproblem durch die konstante Funktion gelöst.
Formulierung des Satzes
Es seien mit . Dann gilt:
- Es gibt ein y0 umfassendes offenes Intervall mit für alle . Dann ist die Abbildung auf U wohldefiniert und streng monoton.
- Weiter gibt es ein x0 umfassendes offenes Intervall , so dass die Abbildung für alle Werte in Φ(U) hat.
- Seien U und V wie oben. Dann ist eine Lösung des Anfangswertproblems
-
- auf V. u erfüllt also die implizite Gleichung .
Beweis
Da und f stetig, gibt es ein y0 umfassendes offenes Intervall U, so dass für alle . Insbesondere hat f auf U dasselbe Vorzeichen, so dass auf U wohldefiniert und streng monoton ist. Φ(U) ist ein 0 umfassendes offenes Intervall. Also gibt es ein x0 umfassendes offenes Intervall , so dass für alle gilt.
ist auf V wohldefiniert, und wegen für alle gilt
auf V. Bei der Ableitung u'(x) wurden die Kettenregel und die Umkehrregel genutzt. Natürlich ist g(x0) = y0.
Beispiel
Gesucht sei die Lösung y des Anfangswertproblems
Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen:
Setze also
Die Umkehrfunktion lautet
Also ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch
Quellen
- ↑ Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 2. Auflage. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-12227-8, S. 128
Wikimedia Foundation.