Barnessche G-Funktion

Die Barnessche G-Funktion, typischerweise mit G(z) bezeichnet, ist eine Funktion, die eine Erweiterung der Superfakultäten auf die komplexen Zahlen darstellt. Sie steht in Beziehung zur Gammafunktion, der K-Funktion und der Konstanten von Glaisher-Kinkelin und ist nach dem Mathematiker Ernest William Barnes benannt.^[1]

Formal ist die Barnessche G-Funktion in der Form eines Weierstraß-Produkts definiert als

$G(z+1)=(2\pi)^{z/2} e^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)^ne^{-z+z^2/(2n)}\right]$

wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Differenzengleichung, Funktionalgleichung und spezielle Werte

Die Barnessche G-Funktion erfüllt die Differenzengleichung

$\!\ G(z+1)=\Gamma(z)G(z)$

mit der Normierung G(1) = 1. Die Differenzengleichung impliziert, dass G die folgenden Werte für ganzzahlige Argumente annimmt:

$G(n)=\begin{cases} 0,&\mbox{falls }n=0,-1,-2,\ldots,\\ \prod_{i=0}^{n-2} i!,&\mbox{falls }n=1,2,\ldots,\end{cases}$

so dass

$G(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{K(n)}$

wo Γ(n) die Gammafunktion und K(n) die K-Funktion bezeichnen. Die Differenzengleichung definiert die G-Funktion eindeutig, wenn die Konvexitätsbedingung $\frac{\mathrm d^3}{\mathrm dx^3}G(x)\geq 0$ gestellt wird.^[2]

Die Differenzengleichung der G-Funktion und die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion liefern die folgende Funktionalgleichung für die G-Funktion, wie ursprünglich von Hermann Kinkelin bewiesen wurde:

$G(1-z) = G(1+z)\frac{ 1}{(2\pi)^z} \exp \int\limits_0^z \pi z \cot \pi z \, \mathrm dz.$

Multiplikationsformel

Wie die Gamma-Funktion erfüllt auch die G-Funktion eine Multiplikationsformel:^[3]

$G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right)$

wobei K(n) eine Funktion ist, die durch

$K(n)= e^{-(n^2-1)\zeta^\prime(-1)} \cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot(2\pi)^{(n-1)/2}\,=\, (Ae^{-\frac{1}{12}})^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi)^{(n-1)/2}.$

gegeben ist. Hierbei ist $\zeta^\prime$ die Ableitung der Riemannschen Zeta-Funktion und A die Konstante von Glaisher-Kinkelin.

Asymptotische Entwicklung

Die Funktion $\log \,G(z+1 )$ hat die folgende asymptotische Entwicklung, die von Barnes gefunden wurde:

$\log G(z+1)=\frac{1}{12} - \log A + \frac{z}{2}\log 2\pi +\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z -\frac{3z^2}{4}+ \sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}} + O\left(\frac{1}{z^{2N+2}}\right).$

Hierbei bezeichnet B_k die Bernoulli-Zahlen und A die Konstante von Glaisher-Kinkelin. (Man beachte, dass zur Zeit von Barnes^[4] die Bernoulli-Zahl B_2k als ( − 1)^{k + 1}B_k geschrieben wurde. Diese Konvention wird nicht länger verwendet.) Die Entwicklung ist gültig für z in jedem Sektor, der nicht die negative reelle Achse enthält.

Weblink

• Eric W. Weisstein: Barnes G-Function. In: MathWorld. (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Barnes: The theory of the G-function. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. Band 31, 1900, Seiten 264–314.
2. ↑ M. F. Vignéras: L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe modulaire $SL(2,\mathbb{Z})$. In: Astérisque Band 61, 1979, Seiten 235-249.
3. ↑ I. Vardi: Determinants of Laplacians and multiple gamma functions. In: SIAM J. Math. Anal. Band 19, 1988, Seiten 493-507.
4. ↑ E. T. Whittaker, G. N. Watson: A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press, ISBN 978-0521091893.