Konstante von Glaisher-Kinkelin

Die Konstante von Glaisher-Kinkelin, oft auch nur glaishersche Konstante, ist eine mathematische Konstante, die in einigen Summen und Integralen auftritt, vor allem im Zusammenhang mit der Gammafunktion und der riemannschen Zetafunktion. Sie ist nach J. W. L. Glaisher und Hermann Kinkelin benannt.

Näherungswert

Die Konstante von Glaisher-Kinkelin wird üblicherweise mit A bezeichnet. Ein Näherungswert ist

A = 1,28242 71291 00622 63687 53425 68869 79172 77676 88927 32500 11920 63740 02174 04063 08858 82646 11297 36491 95820 23743 ...^[1]

Die einzelnen Nachkommastellen bilden die Folge A074962 in OEIS.

Definitionen

Eine mögliche Definition von A ist^[2]

$A = \lim_{n\to\infty} \frac{K(n+1)}{n^{\frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{12}} \, e^{-\frac{1}{4} n^2}}$

mit der K-Funktion $K(n+1) = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdots n^n.$

Eine andere Definition ist

$A = \exp\left(\tfrac{1}{12}-\zeta^\prime(-1)\right) ,$

die einen Zusammenhang zur Ableitung der riemannschen Zetafunktion ζ darstellt.

Eine weitere Definition unter Verwendung der Kreiszahl π lautet:

$A = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{\frac{1}{2} n^2 -\frac{1}{12}} \, (2\pi)^{\frac{1}{2} n} \, e^{-\frac{3}{4} n^2 + \frac{1}{12}}}{G(n+1)}$

mit der barnesschen G-Funktion $G(n+1) = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots (n-1)!.$

Eine andere Möglichkeit mit der Gammafunktion Γ ist:

$A = \frac{2^{7/36}}{\pi^{1/6}} \exp \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \int_0^{1/2}\!\ln\Gamma(x+1)\,\mathrm{d}x\right).$

Eine Reihendarstellung lautet (Guillera, Sondow 2008)^[3]

$\ln A = \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^{k+1} \binom{n}{k} (k+1)^2 \ln(k+1).$

Literatur

• Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung (Juli 1856), Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, S. 122–138 (beim GDZ: [2])
• J. W. L. Glaisher: On the Product 1¹.2².3³...nⁿ, The Messenger of Mathematics 7, 1878, S. 43–47 (englisch; „A=1·28242 7130“ auf S. 43; im Internet-Archiv: [3])

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Glaisher-Kinkelin Constant. In: MathWorld. (englisch)
• Folge A087501 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von A)

Einzelnachweise

1. ↑ 20,000 digits of the Glaisher-Kinkelin constant – die ersten 20.000 Nachkommastellen beim Projekt mpmath (englisch)
2. ↑ Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0, S. 103
3. ↑ Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch’s transcendent, The Ramanujan Journal 16, 2008, S. 247–270 (bei arXiv.org: [1])