Glaishersche Konstante

Die Konstante von Glaisher-Kinkelin, oft auch nur glaishersche Konstante, ist eine mathematische Konstante, die in einigen Summen und Integralen auftritt, vor allem in Zusammenhang mit der Gammafunktion und der riemannschen Zetafunktion. Sie ist nach James Whitbread Lee Glaisher (1848–1928) und Hermann Kinkelin (1832–1913) benannt.

Näherungswert

Die Konstante von Glaisher-Kinkelin wird üblicherweise mit A bezeichnet. Ein Näherungswert ist

A = 1,282427129100622636875342568869791727767688927325001192063740021740406308858826

46112973649195820237439420646120399000748933157791362775280404159072573861727522... ^[1]

Die einzelnen Nachkommastellen bilden die Folge A074962 in OEIS.

Definitionen

Eine mögliche Definition von A ist

$A=\lim_{n\to\infty}\frac{K(n+1)}{n^{\frac 12 n^2 + \frac 12 n+\frac 1{12}} \exp{(\frac{-1}4 n^2)}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1^12^23^34^4\cdots n^n}{n^{\frac 12 n^2 + \frac 12 n+\frac 1{12}} \exp{(\frac{-1}4 n^2)}}$, ^[2]

wobei K(n + 1) die K-Funktion bezeichnet.

Eine andere Definition ist

$A = \exp\left(\frac 1{12}-\zeta^\prime(-1)\right),$

die den ersten Zusammenhang zur Ableitung der riemannschen Zetafunktion ζ darstellt.

Eine weitere Definition unter Verwendung der Kreiszahl π lautet:

$A=\frac 1{\exp (\frac 1{12})}\lim_{n\to\infty} \frac{G(n)}{n^{\frac 12 n^2 -\frac 1{12}}\cdot (2\pi)^{\frac 12 n} \cdot \exp{(\frac{-3}4 n^2)}},$,

wobei G(n) die barnessche G-Funktion bezeichnet.

Eine andere Möglichkeit mit der Gammafunktion Γ ist:

$A = 2^{7/36}\pi^{-1/6}\exp \left(\frac 13 +\frac 23 \int\limits_0^{1/2} \ln\left[\Gamma(x+1)\right]\mathrm dx\right).$

Eine Reihendarstellung lautet (nach Guillera und Sondow, 2005)

$\ln A - \frac 18 = \frac 12 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^{k+1} {n \choose k} (k+1)^2 \ln(k+1).$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Glaisher-Kinkelin Constant auf MathWorld (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Die ersten 20.000 Nachkommastellen unter http://mpmath.googlecode.com/svn/data/glaisher.txt
2. ↑ Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die riemannsche Vermutung. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0, S. 103