- K-Funktion
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Die K-Funktion ist in der Mathematik eine spezielle Funktion, die üblicherweise mit K(z) bezeichnet wird. Sie verallgemeinert die Hyperfakultät H(n) auf die komplexen Zahlen.
Die Hyperfakultät einer natürlichen Zahl n ist definiert durch
Für die K-Funktion soll nun gelten
und sie soll auf den Zahlenbereich der komplexen Zahlen erweitert werden.
Inhaltsverzeichnis
Definitionen
Eine mögliche Definition der K-Funktion lautet:
wobei
für die komplexe Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten und Γ für die Gammafunktion steht.
Eine andere Möglichkeit bietet
wobei ζ(z) für die riemannsche Zetafunktion und ζ(a,z) für die hurwitzsche Zeta-Funktion stehen (es werden jeweils die Ableitungen gebraucht.)
Die Verwandtschaft der K-Funktion zur Gammafunktion und der barnesschen G-Funktion wird durch die Formel
zum Ausdruck gebracht.
Werte
Für natürliche n stimmen die Werte K(n) der K-Funktion definitionsgemäß mit dem Wert H(n − 1) der Hyperfakultätsfunktion überein. Die ersten dieser Werte sind
Der Wert
ist explizit gegeben durch
wobei A für die Konstante von Glaisher-Kinkelin steht.
Weitere Zusammenhänge
Mit der barnesschen G-Funktion G(z) gilt
für alle
Benoit Cloitre zeigte 2003 folgende Formel:
.
Einzelnachweise
- ↑ a b c Eric W. Weisstein: Hyperfactorial. In: MathWorld. (englisch)
Literatur
- Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung, Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, 18, S. 122–138 (online)
Weblinks
- Eric W. Weisstein: K-Funktion. In: MathWorld. (englisch)
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