- Träger (Mathematik)
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In der Mathematik bezeichnet der Träger (manchmal auch Support) die Nichtnullstellenmenge einer Funktion oder anderer Objekte.
Inhaltsverzeichnis
Analysis
Träger einer Funktion
Der Träger von f wird meist mit bezeichnet.
Sei A ein topologischer Raum und eine stetige Funktion. Der Träger von f besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der „Nichtnullstellenmenge“ von f:
Träger einer Distribution
Sei eine Distribution (Ω offene Teilmenge des ). Man sagt, dass ein Punkt zum Träger von T gehört, und schreibt , wenn für jede offene Umgebung von x0 eine Funktion existiert mit .
Falls T eine reguläre Distribution T = Tf mit stetigem f ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion f).
Träger eines Borelmaßes
Der Träger eines positiven Borelmaßes auf einem topologischen Raum ist das Komplement der größten offenen Menge mit Maß 0.
Beispiele
Ist mit f(x) = x, dann ist , denn die Nichtnullstellenmenge von f ist , deren Abschluss ganz ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.
Ist mit f(x) = 1, falls , sonst 0, dann ist die Menge .
Ist die charakteristische Funktion von , falls , und , falls , dann ist der Träger , also der Abschluss von .
Sei U eine offene Teilmenge des . Die Menge aller stetigen Funktionen von U nach mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit C0(U) bezeichnet wird.
Die Menge aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in U spielt als Menge der „Testfunktionen“ eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.
Die Delta-Distribution δ(f): = f(0) hat den Träger , denn mit gilt: Ist f aus , dann ist δ(f) = 0.
Garbentheorie
Es sei F eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum X.
Träger eines Schnittes
Für eine offene Teilmenge und einen Schnitt heißt die Menge derjenigen Punkte , für die das Bild von s im Halm Fx ungleich null ist, der Träger von s, meist mit oder | s | bezeichnet.
Der Träger eines Schnittes ist stets abgeschlossen.
Träger einer Garbe
Der Träger von F selbst ist die Menge der Punkte , für die der Halm Fx ungleich null ist.
Der Träger einer Garbe ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, der Träger einer kohärenten Modulgarbe hingegen schon.
Literatur
- Roger Godement: Théorie des faisceaux. Hermann, Paris 1958.
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