T₁-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind T₁-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Das T₁-Axiom ist ein Beispiel eines Trennungsaxioms.

Definition

Sei X ein topologischer Raum und x und y zwei Punkte in X. Man sagt, dass x und y getrennt sind oder getrennt werden können, falls x und y je in einer offenen Menge liegen, die den anderen Punkt nicht enthält.

X heißt T₁-Raum, falls zwei beliebige Punkte getrennt sind. Man sagt auch, dass ein T₁-Raum eine Fréchet-Topologie besitzt. Zu vermeiden ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung Fréchet-Raum, die ein Begriff aus der Funktionalanalysis ist.

Eigenschaften

Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:

• X ist ein T₁-Raum.
• X ist ein Kolmogoroff-Raum und ein R₀-Raum.
• Alle einpunktigen Mengen in X sind abgeschlossen.
• Jede endliche Menge ist abgeschlossen.
• Jede Menge mit endlichem Komplement ist offen.
• Jeder Elementarfilter zu x konvergiert nur gegen x.
• Für jede Teilmenge S von X gilt, dass ein Element x aus X genau dann ein Häufungspunkt von S ist, wenn jede offene Umgebung von x unendlich viele Elemente enthält.

In topologischen Räumen gelten immer folgende Implikationen

getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar ⇒ disjunkt

Falls der erste Pfeil umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R₀-Raum, genau in einem T₀-Raum gilt dies auch für die zweite Implikation. Damit sieht man, dass ein topologischer Raum genau dann T₁ erfüllt, wenn er sowohl ein R₀-Raum und ein T₀-Raum ist.

Beispiele

Die Zariski-Topologie auf einer algebraischen Varietät (im klassischen Sinne) ist T₁. Um das zu sehen betrachten wir einen Punkt mit lokaler Koordinate $(c_1,\ldots c_n)$. Die dazugehörige einpunktige Menge ist die Nullstellenmenge der Polynome $X-c_1,\ldots,X-c_n$. Der Punkt ist somit abgeschlossen.

Für ein weiteres Beispiel betrachten wir die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$. Als offene Menge definieren wir genau die leere Menge und die Mengen mit endlichem Komplement. Sie haben also alle die Gestalt $O_A = O\setminus A$ mit einer endlichen Menge A. Seien nun x und y zwei verschiedene Punkte. Die Menge O_x ist eine offene Menge, die y enthält und x nicht. Andererseits enthält O_x das Element x aber y nicht. Somit handelt es sich tatsächlich um einen T₁-Raum. Dies kann man aber auch aus der Tatsache folgern, dass einelementige Mengen abgeschlossen sind. Dieser Raum ist aber kein T₂-Raum. Denn für zwei endliche Mengen A und B gilt $O_{A}\cap O_{B} = O_{A\cup B}$, was nie leer sein kann. Weiter ist die Menge der geraden Zahlen kompakt, aber nicht abgeschlossen, was in einem T₂-Raum nie der Fall sein kann.