Initialtopologie

Als Initialtopologie bezüglich einer Abbildungsfamilie bezeichnet man in der Topologie die gröbste Topologie auf einer Menge X, die diese Familie von Abbildungen aus X in andere topologische Räume stetig macht. Die Initialtopologie entsteht also durch „Rückwärtsübertragung“ der auf den Bildräumen vorhandenen topologischen Strukturen auf die Menge X. Dies ist die Anwendung eines allgemeineren Konzepts aus der Kategorientheorie auf topologische Räume, mit der wichtige „natürliche Räume“ wie Produkt- und Unterräume in einen gemeinsamen Rahmen gestellt werden können.

Definition

Gegeben ist eine Menge X, eine Familie von topologischen Räumen (Y_i, T_i) und eine Familie von Abbildungen f_i :X → Y_i von X in die Räume Y_i. Eine Topologie S auf X heißt Initialtopologie bezüglich der Familie (Y_i, T_i, f_i), wenn sie eine der drei folgenden, gleichwertigen Eigenschaften hat:

1. S ist die gröbste Topologie auf X, bezüglich derer alle Abbildungen f_i stetig sind.
2. Die Urbilder aller offenen Mengen $f_i^{-1}(O),\;(O\in T_i)$ unter allen Abbildungen der Familie bilden eine Subbasis der Topologie S.
3. Eine Funktion g aus einem topologischen Raum Z in X ist genau dann stetig, wenn $f_i \circ g$ stetig ist für jedes i ∈ I.

Das Diagramm auf der rechten Seite veranschaulicht die universelle Eigenschaft der Initialtopologie.

Bemerkungen

Die drei Formulierungen der Definition beleuchten unterschiedliche Aspekte der Initialtopologie:

1. Hier wird sie als kleinste obere Schranke gewisser Topologien im Verband aller Topologien auf X angesehen. Jede einzelne Abbildung f_i zieht eine topologische Struktur S_i aus ihrem Bildraum auf X zurück und die Initialtopologie S ist die gröbste Topologie, die in allen diesen Topologien enthalten ist, also die Schnittmenge dieser Topologien. Mit dieser Definition lässt sich die Existenz der Initialtopologie beweisen.
2. Diese Definition ist konstruktiv. Mit ihr kann man beliebige offene Mengen der Initialtopologie erzeugen, siehe Basis (Topologie). Da eine Topologie durch eine Subbasis eindeutig bestimmt wird, folgt aus dieser Definition leicht die Eindeutigkeit der Initialtopologie.
3. Die abstrakte Charakterisierung durch eine universelle Eigenschaft rechtfertigt die Bezeichnung „Initial“-Topologie und gestattet es, diese Strukturen im allgemeineren Rahmen der Kategorientheorie zu betrachten. Die Finaltopologie kann durch die hierzu duale Eigenschaft charakterisiert werden.

Beispiele

Einige häufig verwendete Konstruktionen topologischer Räume können als Inititialtopologien aufgefasst werden:

• Die Teilraumtopologie ist die Inititialtopologie auf der Teilmenge bezüglich der natürlichen Inklusionsabbildung.
• Die Produkttopologie ist die Initialtopologie bezüglich der natürlichen Projektionen auf die Faktorräume.
• Die schwache Topologie auf einem normierten Vektorraum E ist die Initialtopologie bezüglich der stetigen Linearformen auf E (also des topologischen Dualraums E' von E).
• Ist auf einer Menge X eine Familie von Topologien T_i gegeben, dann ist die Initialtopologie bezüglich der Identität (die gröbste Topologie, die die identische Abbildung von X auf (X,T_i) in allen Topologien stetig macht) gerade die kleinste obere Schranke der Familie {T_i} im Verband der Topologien auf X.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).
• Eraldo Giuli (Hrsg.): Categorical Topology. Kluwer, Dordrecht u. a. 1996, ISBN 0-7923-4049-3 (Applied Categorical Structures 4, 1).
• Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. 3. durchgesehene Auflage. Teubner-Verlag, Stuttgart 1992, ISBN 3-519-22206-X (Mathematische Leitfäden).